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作者 標題: 如何判斷是否為二元一次方程式
方程式     發表於: 2006/4/11 下午 09:41:43            
請問
3(2x+4y)=4(x+3y)
是否為二元一次方程式?
若化簡整理完為2x=0
還能稱作二元一次方程式嗎?
那麼是要看化簡之前還是化簡後?
CHT          回覆於: 2006/4/12 上午 09:46:22                        

如果視作2x+0y=0就是二元一次方程式
峰哥          回覆於: 2006/4/12 下午 07:58:31                        

所有方程式必須化到最簡式才可以命名,所以只能稱為一元一次方程式。
上面回答不對,如果不懂,請別誤導觀念。
yani          回覆於: 2006/4/12 下午 10:13:52                        

為什麼要分類次幾元幾次方程式(或函數或不等式或其它關係式)
是為了歸納、討論方便

X=1是一元一次方程式,非m元n次(此處m,n≠1)
雖然x=1__(1)與x+0y=1__(2)同義,但就性質來說,兩者皆是一元一次的
性質﹕一元一次方程式恰有一解,二元一次方程式有無限多解
明顯地(1)(2)皆恰一解,把(2)歸類於二元一次是沒什麼意義的

更何況x=1也可寫成
x+0y<sub>1</sub>+0y<sub>2</sub>+..+0y<sub>n</sub>=1
那豈不是二元、三元、…、n+1元一次皆可稱之了嗎﹖
甚至1+2=3這個痤它﹛A也可看成多元一次方程式了
(但其解的本質卻不是的)
這又好比x=1為一元一次方程式,非一元二次方程式
(有兩根,可能重根)0xx+x=1

因為不同元或不同次的解集合本質,是不同的(圖形也不同)


另外,x=1在直角坐標x-y平面上,是直線方程式
[在一維為一點、在二維為一直線、在三維為一平面、
在抽象的四維以上為超平面(或說空間)]
直線方程式包括﹕
二元一次方程式(一次函數)、一元一次方程式(零次(常數)函數或零函數)
所舉x=1之例它是屬於一元一次方程式
(或說﹕當它對照於x-y平面時,它屬於x是y的零次函數)
yani          回覆於: 2006/4/12 下午 10:18:53                        

另外,k是常數,y=kx表y與x成正比﹔k是常數,xy=k表y與x成反比

而,k,r是常數,y/x=k(或x/y=r)不表示y與x成正比﹔
同理,k,r是常數,y=k/x(或x=r/y)不表示y與x成反比
yani          回覆於: 2006/4/12 下午 10:26:52                        

上上篇更正﹕零次函數≠常數函數
應是零次函數及零函數統稱常數函數

不管化簡前或化簡後,3(2x+4y)=4(x+3y)是一元一次方程式
非二元一次方程式,因為它毫無二元一次方程式的性質﹗
一元一次方程式﹕恰一解﹔二元一次方程式﹕無限多解
一維圖形上﹕一元一次方程式﹕一點﹔二元一次方程式﹕無意義
二維圖形上﹕一元一次方程式﹕水平直線﹔二元一次方程式﹕斜直線
雖然兩者皆直線,但直線是有分﹕零函數、零次函數(即一元一次方程式)
、及一次函數(即二元一次方程式)的
yani          回覆於: 2006/4/12 下午 10:45:39                        

給七年級同學﹕
x=1是直線方程式,但直線方程式不一定是一元一次方程式

在x-y的直角坐標平面中,直線方程式包括﹕
二元一次方程式(一次函數﹕ax+by=c,a,b皆非0)
或一元一次方程式(常數函數﹕x=d或y=e)
x=1是屬於後者的
yani          回覆於: 2006/4/12 下午 10:47:20                        

更正﹕為什麼要分類<b>成</b>幾元幾次方程式
yani          回覆於: 2006/4/12 下午 11:54:56                        

上上篇更正﹕
但直線方程式不一定是<b>二</b>元一次方程式
54lkk          回覆於: 2006/4/13 上午 06:17:14                        

根據楊維哲,蔡聰明等教授所編高中數學第一冊內的定義
2x=0是二元一次方程式的一個特例
所以你要說它是N元一次似乎皆可以
方程式          回覆於: 2006/4/13 上午 09:53:41                        

謝謝大家幫忙解答

我的問題在:
1.)要以化簡之前的式子來判斷?
2.)或是化簡之後的式子來判斷?
chuchu          回覆於: 2006/4/13 上午 10:56:05                        

當觀念或定義有爭議時,回到教科書的定義才是正確態度,不要把問題複雜化
提出自己的觀點時,正不正確是有待商榷的,也是可受公評的

僅列出高中數學教科書的相關內容,供大家參考
樓主的疑問,從底下內容就能尋得解答

南一版數學第一冊第二章提到:
1.
平面上直線L的方程式有四種表現形式,不管哪一種形式
經移項整理後一定可以化成二元一次方程式ax+by+c=0(此式叫一般式)
,其中a,b,c為已知數,且a與b至少有一個不為0(a^2+b^2≠0)
2.在數線上,一元一次方程式x=-3的圖形是一個點
3.在坐標平面上,二元一次方程式x=-3的圖形是一條直線

康熙版第三冊數學第二章提到:
1.
型如ax+by+cz+d=0的方程式,其中x,y,z為未知數,當係數a,b,c不皆為0時
,稱為三元一次方程式,例如:7y+2z-5=0,x=2皆是三元一次方程式
2.
在空間中,一個三元一次方程式的圖形都是一個平面
所以x=2在空間中的圖形是一個平面
yani          回覆於: 2006/4/13 下午 03:54:17                        

簡單說自己看法(當然,不一定是對的)

如何分類﹕就分數而言,是依教科書
就做學問而言,是依其性質與方便
(因為就算不分類,數學仍然是數學,只是研究起來不方便而已
所以如果要分類,就要分其性質或方便討論為主,才有意義)

直線方程式可以是2元1次,也可以是1元1次
我當x=1是1元1次的直線方程式

又將x+1看成0xx+x+1,而把x+1當做1元2次多項式的話
其實已無分類的意義了
因為x+1毫無1元2次根集合或圖形(x,x+1)之性質

個人贊成的是﹕化簡後再分類
         回覆於: 2006/4/13 下午 04:14:05                        

數學是自然界的語言
我倒是有個問題想問
x+0y+0z+0w+0v=1
請問這還是一條直線嗎?
若以空間圖形來思考
         回覆於: 2006/4/13 下午 04:16:44                        

yani 回覆於: 2006/4/13 下午 03:54:17
個人贊成的是﹕化簡後再分類
-------------------------------

我也贊成
yani          回覆於: 2006/4/13 下午 04:32:02                        

僅在實數討論﹕
x+0y+0z+0w+0v=1之解集合為(1,p,q,r,s),其中p,q,r,s為任意實數
它有五個分量(五維),在空間中不具實體﹔至少不會是一直線

此外,x+0y+0z=1(即x=1)在x-y-z坐標系中(空間坐標)
圖形為一平面

七年級倒楣鬼          回覆於: 2006/4/12 下午 08:25:35                        

是嗎?
那我問你 x=1算不算直線方程式?
當然是,而且是平行於y軸的直線.

到底誰觀念不清楚??哈哈
路人甲          回覆於: 2006/4/12 下午 08:35:05                        

七年級倒楣鬼
你觀念好像錯了
七年級倒楣鬼          回覆於: 2006/4/12 下午 09:04:53                        

是嗎?
錯在哪裡?
難道 X=1 不能看作是二元一次方程式嗎?
難道它的圖解不是平行Y軸的直線嗎?
         回覆於: 2006/4/12 下午 09:21:44                        

七年級倒楣鬼
如果你的想法是對的,那x=0也可以寫成
x+0y=0
x+0y+0z=0
那該稱二元一次方程式
還是三元一次方程式
七年級倒楣鬼          回覆於: 2006/4/12 下午 09:23:51                        

有何不可
三維度坐標空間的直線
小六          回覆於: 2006/4/12 下午 09:25:39                        

基本上要看討論的空間定義為何
如果是一維 X=1 是一個點(一元一次)
2維 X=1 是一條線(二元一次)
2維 X=1 是一個平面(三元一次)
         回覆於: 2006/4/12 下午 09:26:14                        

所謂的幾元是看代數的個數吧
幾次是看代數的最高次方項的次數啊
         回覆於: 2006/4/12 下午 09:27:42                        

數學的定義不能光靠一張嘴
         回覆於: 2006/4/12 下午 09:34:49                        

如果真如還要依空間來判斷幾元幾次
那不就整個都亂了
七年級倒楣鬼          回覆於: 2006/4/12 下午 09:36:21                        

鬼當然有嘴
請問坐標平面當中Y軸算不算直線?

請問它的直線方程式是?
當然就是 X=0
說是 X+0Y=0 有何不可
         回覆於: 2006/4/12 下午 09:39:18                        

★...我認同你
其實國二課本已有討論
不懂的人要好好重修啦...
         回覆於: 2006/4/12 下午 09:40:54                        

七年級倒楣鬼別鬼扯ㄌ...
七年級倒楣鬼          回覆於: 2006/4/12 下午 09:41:54                        

鬼扯嗎
我可是認真的
路人乙          回覆於: 2006/4/12 下午 09:46:25                        

七年級倒楣鬼...你來亂ㄉ喲
七年級倒楣鬼          回覆於: 2006/4/12 下午 09:49:33                        

鬼比人可愛多了
我哪裡說錯了,請指教,請不要罵我
諸位老師高抬貴手
Superman          回覆於: 2006/4/12 下午 10:02:17                        

http://math2.math.nthu.edu.tw/summer00/01/30/4.htm
Superman          回覆於: 2006/4/12 下午 10:03:01                        

個人覺得上面小六的解釋比較對
七年級倒楣鬼          回覆於: 2006/4/12 下午 10:08:25                        

所以我說 X=1是直線方程式(二元一次),是對囉
怎麼有人說我是鬼扯呢?
Mathplayer          回覆於: 2006/4/12 下午 10:09:57                        

如果問的是3(2x+4y)=4(x+3y)
那這時候的形式是二元一次方程式

如果問的是化簡整理完後的2x=0
這時候的形式是一元一次方程式

是以形式來區分,不是以化簡前後來區分
標準式          回覆於: 2006/4/12 下午 10:12:13                        

aX+bY=c(a^2+b^2=/=0)為二元一次方程式

所以2X=0應該也算
         回覆於: 2006/4/12 下午 10:13:34                        

請翻一下國二課本
不要亂扯
         回覆於: 2006/4/26 下午 02:08:14                        

其實,七年級倒楣鬼的想法並不是來亂的吧

查一下書以及教師手冊
裡面提及,
判斷幾元時,要先看化簡前有幾個未知數
判斷幾次時,則是由化簡後的式子來判斷

因為幾元,他若是二維,
雖然最後化簡完式子看似一元(如x=2)
但實際上他是二維的本質是不變的
若換成圖形來看,他是在二維空間裡的,有x及y
也因此,書上會提到,這樣情況下的如:x=2,可稱為特例
但並非所有一元一次方程式都是二元一次方程式的特例

所以,七年級倒楣鬼提到的圖形想法,是有其道理的
以上,是在中學部編版第二冊中提到的觀念^^

Mayson          回覆於: 2006/4/28 上午 01:35:05                        

煩請詳看yani的解釋,個人認為貫穿高中和國中課程,解釋的相當完整.

而藍所提的"教師手冊",須分別依化簡前合化簡後來判定幾元和幾次,請問:可否論證?
或是哪位數學大師所定義的? 可否提供編輯單位或教授姓名,以便到他的個人網站詢
問.

奉勸七年級生,數學的說明或證明是依推理或正確論點來得到結論,請勿逞口舌之快!這
樣對你的數學學習是有害的!
         回覆於: 2006/5/26 下午 11:11:57                        

抱歉,今天才看到版友的問題∼

我是查詢部編版的課本及教師手冊
裡頭有提到那樣的判定方法∼^^
欽仔          回覆於: 2006/5/27 上午 01:38:16                        

要算幾元

應注意的是討論維度

例如: 例如討論的是二維,那就是二元


或未註明維度

那就看題目一開始的未知數個數

再來看化簡後的次數是幾次

這樣就可以了

小心:一特例,若化簡後變為 0=0
那就不稱為幾元幾次




欽仔          回覆於: 2006/5/27 上午 01:57:16                        

補充一下

數學上在討論問題,本來就會先說明討論的維度

若沒有說明,可從一開始的方程式的變數個數來判別

yani所說的有一些不同看法

二維上,x=1其實是無限多組解的

否則如何畫出直線,故x=1有二元一次方程式的所有性質

yani          回覆於: 2006/5/27 上午 08:11:05                        

然而,在一些場合中,我們卻不提幾維(幾個變數)
例如蠻常見的問法﹕判斷2x+y=3是幾元幾次方程式﹖

命題(或定理、或題目),應描述目前討論的是幾維(或幾個變數)
這在較高等的數學敘述中,都有完整的說出來

但是在國中以下的數學,若寫的太完整,我想大部份的學生恐怕會更惶恐(註)
所以,在不混淆的情形下,省略了現在要討論的是幾維(幾個變數等字樣)
並且,若不寫出來,我個人認為是以"化成最簡式後,之最少維度"

註﹕在國小,我們不也說圓周率等於3(或3.14嗎﹖)
在國中不也說-1無平方(實)根嗎﹖
也不是不談它們的真實性,只是時機未到(這個時機是大人決定的...)
但是在某些場合,有些老師認為該補充說明時
會加上去如﹕圓周率不是有理數,3只是近似值﹔本題圓周率用π表示
負數無平方<b>實</b>根

平時因學齡而省略的方便法門,無可厚非
但遇到該完整說明或補充的,還是得去做



yani          回覆於: 2006/5/27 上午 08:15:16                        

更正﹕(這個時機是大人決定的...)
改為(這個時機是大人決定的...
但是當學生想知道真實性、更高層次時,大人應把權利還給學生的)

而在公開的考試中,又應寫明才好(寧繁勿漏)
Xiao          回覆於: 2006/5/27 下午 01:05:43                        

如何判斷是否為二元一次方程式

因為問問題的人沒有定義清楚
所以我個人認為怎麼說就怎麼對
也不必否認別人的說法
因為一開始就沒定義好,所以會演變成
以自己所學的程度去定義題目的意思,
這樣討論下去反而變的沒義意了,在我
看來因為沒定義清楚所以大家講的都對
我是來亂的 :(          回覆於: 2006/5/27 下午 03:55:18                        

問一下
x=3
x+y=5

算不算是二元一次聯立方程式

我是來亂的 :(          回覆於: 2006/5/27 下午 04:06:15                        

問一下

x=3
x+y=5
算不算是二元一次聯立方程式?

x=3
x+y=5
x+y+z=5
算不算是三元一次聯立方程式?

ax+by=5是不是二元一次方程式?

ax+by=5為一條平行x軸的直線,求a的值,試問a=? ax+by=5是不是二元一次方程式?
Xiao          回覆於: 2006/5/27 下午 10:43:12                        

還是沒有定義清楚啊!
如果不定義清楚範圍,通常怎麼說就怎麼對
個人的任為,別在意
meathu          回覆於: 2006/5/28 下午 12:21:28                        


各位的討論極為精采,其實數學的定義極為重要,不是嗎?

所以同樣一個式子,依定義的不同便有不同的論點~~~

我喜歡這樣的討論~~~

jeff          回覆於: 2017/12/14 下午 05:59:02                        

"我是來亂的"老師的提問很有意思,可能也是許多數學老師常遇到的疑惑。

個人看法是:

單一式子x=3,在國中階段定義為一元一次方程式,而像
x=3
x+y=5
二個方程式組合在一起時,則成立二元一次聯立方程式(或二元一次方程組)。

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