聰慧的阿拉伯女兒賣蘋果

 

       今天再次閱讀這本饒富趣味的書本,書名是「數學天方夜譚—撒米爾的奇幻之旅」,第17章提到一段故事,大意如下所述:「一位農夫多次在吝嗇又好妒的法官面前獻耀家裡有3位天生具有生意頭腦的聰慧女兒。法官故意拋出了一道難題,企圖考倒這3位女子他將九十顆蘋果分給三姐妹,規定老大一定要賣出五十顆,老二要賣出三十顆,老三只能賣出十顆,每個人賣出的每個蘋果的價格必須相同,而最後每個人的總收入也必須一樣」。如果你是三姐妹之ㄧ,你將如何賣出蘋果呢﹖

      顯然,每人的要賣出的蘋果總數不同,若要用相同單價全賣完,每人的總收入當然不會相同,所以他們必須分批賣出,當然每批的售出的單價應該不同,或許就有可能達到「最後每個人的總收入相同」的要求。

      假設在首批買賣中,老大賣出 a 個,老二賣出 b 個,老三賣出 c 個,單價都是 p元。而且三姐妹都在第二批以單價 s元賣光剩餘的蘋果,s≠p,老大賣出 50-a 個,老二賣出 30-b 個,老三賣出 10-c 個。如果 3個人在這二批的總收入是一樣的,則
ap+(50-a)s=bp+(30-b)s=cp+(10-c)s,因此(a-b)(p-s)=(b-c)(p-s)。
因為s≠p,所以a-b=b-c,即 a、b、c 成等差數列…(1)。
而第二批3人賣出50-a個、30-b個、10-c個,其中 (30-b)-(50-a)=-20-b+a=-20-(b-a) …(2)
(10-c)-(30-b)=-20-c+b=-20-(c-b)....(3)
由(1)可知 (2)=(3),所以3個人在第二批賣出的蘋果個數也是等差數列。

      假設首批,老大賣出 a 個,老二賣出 a+d 個,老三賣出 a+2d 個,單價都是 p元。第二批,老大賣出 50-a 個,老二賣出 30-a-d 個,老三賣出 10-a-2d 個,單價都是 s元。因為 3人的最後總收入相同,所以
ap+(50-a)s=(a+d)p+(30-a-d)s …… (4)
由(4)可知 (20+d)s=dp,(20+d)/d=p/s,(20/d)+1=p/s …… (5)

      由上述可見法官所拋出的難題,它的解答是不唯一的。列舉其中兩例,
令 d=1,則 p/s=21。可令 s=1,則 p=21。
如果首批中,老大賣出 7 個,老二賣出 8 個,老三賣出 9 個,單價都是 21元。第二批,老大賣出 43 個,老二賣出 22 個,老三賣出 1 個,單價都是1元。最後每個人的總收入都是190元。

令 d=2,則 p/s=11。再令 s=1,則 p=11。
如果首批中,老大賣出 5 個,老二賣出 7 個,老三賣出 9 個,單價都是11元。第二批,老大賣出 45 個,老二賣出 23 個,老三賣出 1 個,單價都是 1元。最後每個人的總收入都是100元。

 


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