生幾個男孩幾個女孩的機率

如果生男生女的機會一樣，叔叔家有4個小孩，全都是女孩的機會大不大?有1個男孩和3個女孩的機會，與有3個男孩和1個女孩的機會一樣嗎？
一般用樹狀圖來討論，如附圖。♀表示女生，♂表示男生，叔叔的四個小孩的可能性別如下表：

	第一胎	第二胎	第三胎	第四胎
1	♀	♀	♀	♀
2	♀	♀	♀	♂
3	♀	♀	♂	♀
4	♀	♀	♂	♂
5	♀	♂	♀	♀
6	♀	♂	♀	♂
7	♀	♂	♂	♀
8	♀	♂	♂	♂
9	♂	♀	♀	♀
10	♂	♀	♀	♂
11	♂	♀	♂	♀
12	♂	♀	♂	♂
13	♂	♂	♀	♀
14	♂	♂	♀	♂
15	♂	♂	♂	♀
16	♂	♂	♂	♂

總有16種可能結果，其中4個孩子都是女生只有1個可能︰(16)，所以4個孩子都是女生的機率是$\frac{1}{16}$。
1個男孩和3個女孩有4個可能︰(2)(3)(5)(9)，所以1個男孩和3個女孩的機率是$\frac{4}{16}$。
3個男孩和1個女孩有4個可能︰(8)(12)(14)(15)，所以3個男孩和1個女孩的機率是$\frac{4}{16}$。
因此，有1個男孩和3個女孩的機會，與有3個男孩和1個女孩的機會是一樣的。

帕斯卡在1654年發表帕斯卡三角，即自然數冪方的二項展開式的係數。1664~1665年期間牛頓將二項式的展開式推廣到有理數冪方，雅各布·白努利(Jacob Bernoulli ，1654-1705)提出二項試驗和二項分布。

$\small\left( \begin{array}{} n \\ m \end{array} \right) $p^m(1-p)^n-m =$\large\frac{n!}{m!(n-m)!}$p^m(1-p)^n-m 。

如果生男的機率是p，生女的機率是1-p=q，則生下2個孩子的男女機率=(p+q)²=$\small\left( \begin{array}{} 2 \\ 0 \end{array} \right) $p⁰q²+$\small\left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \end{array} \right) $pq+$\small\left( \begin{array}{} 2 \\ 2 \end{array} \right) $p²q⁰=q²+2pq+p²。包含生二男的機率p²，一男一女的機率=pq+qp=2pq，生二男的機率q²。

生下3個孩子的男女機率=(p+q)³=$\small\left( \begin{array}{} 3 \\ 0 \end{array} \right) $p⁰q³+$\small\left( \begin{array}{} 3 \\ 1 \end{array} \right) $pq²+$\small\left( \begin{array}{} 3 \\ 2 \end{array} \right) $p²q+$\small\left( \begin{array}{} 3 \\ 3 \end{array} \right) $p³q⁰=q³+3q²p+3qp²+p³。包含生三男的機率p³，二男一女的機率=3p²q，生一男二女的機率3pq²，生三女的機率q³。

假設生n個孩子，其中m個男生的機率=$\small\left( \begin{array}{} n \\ m \end{array} \right) $p^mq^n-m。

帕斯卡三角

如果生下4個孩子且如果生男生女的機率都是$\frac{1}{2}$。由上往下的第4列數字分別是1、4、6、4、1。
數字相加，1+4+6+4+1=16，就是生4個小孩的性別的可能結果數。
左邊第1個數字是 1，表示生4個男孩的機率是$\frac{1}{16}$。即$\small\left( \begin{array}{} 4 \\ 4\end{array} \right)$($\large\frac{1}{2}$)⁴($\large\frac{1}{2}$)⁰
左邊數來第2個數字是4，它表示 3個男孩和1 個女孩的機率是$\frac{4}{16}$。即$\small\left( \begin{array}{} 4 \\ 3 \end{array} \right)$($\large\frac{1}{2}$)³($\large\frac{1}{2}$)
左邊數來第3個數字是6，它表示2個男孩和2個女孩的機率是$\frac{6}{16}$。即$\small\left( \begin{array}{} 4 \\ 2 \end{array} \right)$($\large\frac{1}{2}$)²($\large\frac{1}{2}$)²
左邊數來第4個數字是4，它表示 1個男孩和3個女孩的機率是$\frac{4}{16}$。即$\small\left( \begin{array}{} 4 \\ 1 \end{array} \right)$($\large\frac{1}{2}$)($\large\frac{1}{2}$)³
左邊數來第5個數字是1，它表示 4個女孩的機率是$\frac{1}{16}$。即$\small\left( \begin{array}{} 4 \\ 0 \end{array} \right)$($\large\frac{1}{2}$)⁰($\large\frac{1}{2}$)⁴。