換 還 是 不 換

 

蒙提‧霍爾(Monty Hall)是電視猜謎節目主持人,經常將樂趣機率融入表演節目之中。他會邀請參加猜謎的觀眾從三個門當中挑選一個門,但是不可以開門。而其中一個門後有獎品,其他的二個門後則是銘謝惠顧。

因為霍爾早知道哪兩個門後是沒有獎品的,所以不管觀眾怎麼選第一扇門(不開門),霍爾總能打開一扇沒獎品的門。並問猜謎的觀眾換門或不換門?

事實上,猜謎的觀眾若選擇換門,則他的得獎機率是2/3,不換門的得獎機率是1/3。因為有兩個門後沒獎品,而且霍爾都會打開一個門後沒獎品的門,只要你一開始選到沒獎品的門,換就一定會中獎,得獎機率是2/3。如果一開始選到有獎品的,換就是銘謝惠顧了,若是不換,第一次選中的機率就是得獎的機率,即1/3。雖然選擇換門的得獎機率2/3大於不換門的得獎機率1/3,顯然換門在猜謎遊戲是明智的選擇,可是事實上並不表示換門就一定會得獎。

天才數學家
艾狄胥
(Paul Erdos)對這問題就曾栽過觔斗,法桑尼(Andrew Vazsonyi)有一次和艾狄胥一同造訪加州聖羅沙法桑尼想測試當時已是機率權威的艾狄胥關於機率的直覺。但是令法桑尼訝異的是艾狄胥竟然堅持換與不換的機率都是1/2,甚至對法桑尼的解釋甚感不解而憤怒,法桑尼甚至利用電腦模擬演算,艾狄胥才信服。可是他還是因無法立即理解而感到釋懷。後來,艾狄胥好友,貝爾實驗室的數學家葛拉漢(Ron Graham)給出了一個令艾狄胥滿意的解釋,他才釋懷。這個軼事,在兩本有關Paul Erdos的傳記裡都提到了,這兩本傳記分別是保羅.霍夫曼(Paul Hoffman)的《The Man Who Loved Only Numbers》及布魯斯.柴契特(Bruce Schechter)的《不只一點瘋狂(My Brain is Open)》第147頁。

可見連在當時已是數學機率權威的艾狄胥都有被機率法則戲弄的一天吧。
 


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