面積圖解餘弦定理




以△ABC的三個邊向外作正方形。並過頂點作對邊垂線。
[問題]
長方形BKRU可能和哪些四邊形的面積相等。
[思考]
長方形BKRU的面積是BK× BU,則以BK為底的平行四邊形,如果高等於BU,則此平行四邊形的面積等於長方形BKRU。只要過K作BC的平行線,和CR相交於W,則CBKW是平行四邊形(兩組對邊平行),而且面積相等於長方形BKRU。
[推論]
 以下各組長方形面積都相等。
1.BSPE,BKRU
2.CNQT,CSPG
3.AIRU,ALQT







餘弦定理
△ABC,AC2=BA2+BC2 -2BA×BC×COSΘ
其中,Θ=∠ABC.



[證明]
因為正方形ACNL的面積=正方形CBEG+正方形BAIK-2×長方形BKRU.....(1)
又長方形BKRU的面積=長方形BASE的面積=BE×BS=BE×(AB×COSΘ)=BC×AB×COSΘ....(2)
由(1)(2)知
AC2=BA2+BC2 -2BA×BC×COSΘ.所以餘弦定理得證。

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