物不知其數

      <<孫子算經>>卷下第26題"物不知其數"問題,第三世紀起即馳名內外,義大利數學家斐波拉契(Fibonacci)就在著作<<算盤>>(西元1220年)引用了此名題。第十九世紀,英國傳教士Wylie將問題的解法傳到歐洲,雖然之前,德國數學家高斯(Guass)對此也作了有系統的深入廣泛研究且使之成為"整數論"裡重要的理論但是 在西元1874年德國科學史學家(L.Matthiessen),鑒於中國早有此問題解法,將它命做「中國剩餘定理」。

     "物不知其數"原文是「今有物,不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二。問物幾何?答曰:二十三」,現在譯文是說「 眼前有一堆物品,不知有多少個?每次取3個,最後剩下2個;每次取5個,最後剩下3個;每次取7個,最後剩下2個。問這堆物品到底有多少個?」對於這問題, <<孫子算經>>本就有解法,

「術曰:三三數之,賸二,置一百四十;五五數之,賸三,置六十三;七七數之,賸二 ,置三十。并之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數之,賸一,則置七十 五;五五數之,賸一,則置二十一;七七數之,賸一,則置十五。一百六以上,以一百五 減之,即得。」

高斯(Guass)利用數論同餘來探究它,如有興趣可參考延伸閱讀,但是對於一位中學生則可以解不定元方程式來處理它。

     「今有物,不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二。問物幾何?」
假設物品有N件,依照題目文意,可以列出一個聯立方程組如下:

其中 abcN 都是正整數

(2) - (1),(2) - (3)得以下方程組

(4) -  (5)得 7c-3a=0......(6),
因為 a 是正整數,所以假設 c= 3k1,其中k1是整數,因此
將 (7) 和( 8) 代入 (4) 可得 5b-21k1 = -1
因為b是正整數,所以k1=5k2+1...(9),其中k2是整數因此
b = 21k2+ 4 .......(10) 將(10)代入(2)得 N=105k2+23,因此N=23,128,233,.....

所以物品最少有23件

 

 §  延伸閱讀  §

談韓信點兵問題  作者:蔡聰明  (台大數學系)

韓信點兵  作者:莫宗堅  (普渡大學數學系)
 


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