物不知其數

《孫子算經》卷下第26題"物不知其數"問題在第三世紀馳名中外,義大利數學家斐波拉契(Fibonacci)就在著作《算盤》(西元1220年)引用此名題。第十九世紀,英國傳教士Wylie將問題的解法傳到歐洲。之前,德國數學家高斯(Guass)對此也作了有系統的深入廣泛研究且使之成為"整數論"裡重要的理論。西元1874年德國科學史學家L.Matthiessen有鑒於中國早對這個問題提出解法,所以將它命名為「中國剩餘定理」。

 《孫子算經》︰「今有物,不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二。問物幾何?

答曰:二十三」,

現在的譯文是︰「 眼前有一堆物品,不知有多少個?每次取3個,最後剩下2個;每次取5個,最後剩下3個;每次取7個,最後剩下2個。問這堆物品到底有多少個?」

《孫子算經》的解法,

「術曰:三三數之,賸二,置一百四十;五五數之,賸三,置六十三;七七數之,賸二 ,置三十。并之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數之,賸一,則置七十 五;五五數之,賸一,則置二十一;七七數之,賸一,則置十五。一百六以上,以一百五 減之,即得。」

可惜《孫子算經》沒有說明為何如此做的原因。高斯(Guass)利用數論同餘來處理它。

假設物品有N件,依照題目文意,可以列出一個聯立方程組如下:

$\begin{cases}
N=3a+2 ...(1)\\
N=5b+3 ...(2)\\
N=7c+2
\end{cases}$.

其中N、a、b、c都是自然數。

(2)-(1),(2)-(3)得下列聯立方程式

$\begin{cases}
5b-3a=-1...(3)\\
5b-7c=-1...(4)\\
\end{cases}$.

(3)-(4)得 -3a+7c=0,a=$\large\frac{7c}{3}$=2c+$\large\frac{c}{3}$

因為a是自然數,所以令c=3s,s是自然數。

c=3s代入(2)得5b=21s-1,b=$\large\frac{21s-1}{5}$=4s+$\large\frac{s-1}{5}$

因為b是自然數,所以令s=5t+1,t是非負整數,因此b=21t+4

b=21t+4代入(2) 得N=5(21t+4)+3=105t+23,因此N的可能值是23、128、233、...。

問物幾何?」可能值是23、128、233、...。


 

 延伸閱讀 ︰談韓信點兵問題  (蔡聰明/台大數學系)/ 韓信點兵  (莫宗堅/普渡大學數學系)
 


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