裁切組合正方形

「兩個不同的正方形,裁切一個正方形,是否可以和另一個正方形組合成正方形呢?」

如果兩個正方型的邊長分別是a和b,其中a ≧ b。圖一在邊長a的正方形ABCD的四個邊上分別取E點、F點、G點、H點,使得AF=BG=CH=DE,則可證明AFE、BGF、CHG、DEH是四個全等的直角三角形。
也 可以證明四邊形EFGH是正方形,因此
EG=FH,且EGFH互相垂直平分。

如果順著EGFH裁切,正方形ABCD會被分成四個全等的四邊形,他們都各自擁有一組直角的對角。

               

 

AFE、BGF、CHG、DEH四個直角三角形都全等,令其兩股差都是b
圖二,中空四邊形的邊長AB=AE-BG=AE-AF=b,同理BC=CD=DA=b。又A、B、C、D四個角都是直角,所以中空四邊形是邊長b的正方形

因為AE-ED=b,且AE+ED=a所以AE=$\large\frac{a+b}{2}$ED=$\large\frac{a-b}{2}$

綜合上述,如果兩個正方形其邊長分別是a和b,則取AF=BG=CH=DE=$\large\frac{a-b}{2}$,並順著EGFH剪裁,再拼貼成圖二,則中空正方形的邊長是b。

所以「兩個不同的正方形,裁切一個正方形,可以和另一個正方形組合成正方形。」
利用相同方法,可以將n個正方形組成一個正方形。

 

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