前n位數被n整除

9位數abcdefghi 的每位數字不重複且不為0，如果前n位數能被n整除，n=1~9，則abcdefghi 為何？

因為abcdefghi 是由1~9整數組成，其中有5個位數是奇數，4個位數是偶數。...(1)

因為abcdefghi 的前n位數能被n整除，所以b被2整除，cd被4整除，f被2整除，fgh被8整除，因此知b、d、f、h都是偶數。...(2)

fgh被8整除，因為fgh= 100f+10g+h=(96f+8g)+(4f+2g+h)

所以4f+2g+h=8x，x是整數

h=8x-4f-2g=2(4x-2f-g)，知h是偶數

由(1)(2)知 a、c、e、g、i都是奇數。顯然e是5。

因為abcdef被6整除，所以abcdef是3的倍數，又因為abc被3整除，所以def也被3整除。因此d+5+f是3的倍數，知def可能是258、456、654、852。

已知fgh被8整除，所以fgh被4整除，因此gh被4整除。
可得下表

defgh可能是25816、45632、65432、65472、85216、85296。

因為abc被3整除，所以a+b+c被3整除。abcd被4整除，所以cd被4整除。

abcdefg被7整除，所以efg-bcd+a被7整除。

綜合上列已知性質，得下表

即8位數abcdefgh 是38165472 。

因為3+8+1+6+5+4+7+2=36是9的倍數，所以

9位數abcdefghi= 381654729合乎「前n位數能被n整除，n=1~9」。

m是整數且1≦m≦9，運用1~m共m個數組成一個m位數，其中每位數字不重複。如果m位數的前n位數可以被n整除，1≦n≦m，則m位數為何？