如何以尺規解一元二次方程式

       十七世紀,法國數學家笛卡兒提出以代數方程式表示幾何圖形的方法,在他創立的坐標系統中,只要知道相異兩點的坐標,便可以寫出通過這兩點的直線有理係數方程式。如果直線和圓有交點,而且已知其方程式,那麼交點的有理數坐標就可以確定。
事實上,要判斷一個幾何量是否可以尺規作圖,只需看這幾何量是否能重複有限次的運用加減乘除或平方根作圖。尺規作圖在國中數學是幾何教材的重要部份,可惜並沒有延伸至處理方程式,為彌補此缺憾,特舉一實例說明。

以尺規作圖解一元二次方程式

如果方程式的二次項係數不是1,只需使用等量除法,各項除以二次項係數即可。
我們畫一個直角坐標平面,如右圖並取A點,其坐標是( 6,5 )。你是否觀察到 X 、 Y坐標和係數的關係,稍後你將明白為何取( 6,5 )。
取A點,坐標( 6,5 ),並在Y軸上取E點,使得 OE = 1。連接AE。並以AE為直徑作圓,分別交X軸於 B 、 C 兩點,其X坐標即為所求。
以上作法是不是很簡單,但為何如此呢?你想知道嗎?
我們再往下看說明,你將豁然開朗。
       說明之前,我們得再畫輔助線,過A點作X軸的垂直線,交X軸於 G 點,並和圓交於D點。再連接DE和AF。
因為四邊形EOGD 是矩形,所以DE//BC,因此,弧BE=弧CD,即BE=CD。由斜股性質可知直角△EOB △DGC。所以,OB = GC。我們假設 OB= a,OC= b,則 a + b = OB + OC = OC + CG = 6 。由相似切割線性質可知「 OB × OC = OE × OF 」,因此,a × b = 1×5 = 5。因為 a + b = 6,ab=5。即 a= 6 - b,( 6 - b )b= 5,,所以b是的解, 同理 a 也是的解。現在,你應該明白B、C兩點的X坐標即為所求了。


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