美麗的錯誤--猜想的真與假

31,331,3331,33331,333331,3333331,33333331, 這 7 個數都是質數,一般人總會猜想下一個數333333331應該是質數,可是他錯了,因為 333333331=17×19607843。

猜想常因類比推理和偶然發現的巧合而出現。數學家通常會使用不完全歸納法,來測試自己的猜想。尤拉(Euler) 認為「猜想」可能是正確的,卻在當時無法證明的數學敘述。

有的猜想被後來的數學家證明她確實是定理,譬如,英國數學家安德魯·約翰·懷爾斯Andrew John Wiles)於1994年證明了困擾數學界300多年的費瑪猜想俄羅斯數學家佩雷爾曼(Grigory Perelman)於2002~2003之間陸續發表論文證明了龐加萊猜想。可是猜想不一定都是定理,她得通得過數學嚴謹的證明,數學證明以公理為基礎,經過邏輯一步一步的無瑕的論證,確論一個定理的存在後,這個定理就永遠是對了。

可是也有一些猜想在後來被證明是錯誤的,譬如,法國費瑪猜想型如2(2^k)+1(k是非負整數)的整數都是質數,k=0,1,2,3,4時,3 , 5 , 17 , 257 , 65537這五個數確是質數。但是1732年尤拉(Euler)發現 k=5時,232=4294967297 並不是質數,它可以分解成 641 × 6700417。

又如,尤拉猜想「x4+y4+z4=w4沒有正整數解」,200年來無人能證明或只是舉例否定,直到1988年美國哈佛大學埃爾基斯(Noam Elkies)證明 x4+y4+z4=w4有無限多組正整數解,例如
26824404+153656394+1879604=206156734
 

懷爾斯 佩雷爾曼

 


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