美麗的錯誤

美麗的錯誤--猜想的真與假

31，331，3331，33331，333331，3333331，33333331，以上 7 個數都是質數，通常會猜想下一個數333333331也是質數，但是猜錯了，因為 333333331=17×19607843。

猜想因類比推理和偶然巧合而出現，數學家使用不完全歸納法來測試猜想。尤拉(Euler) 認為「猜想」可能是正確的，只是當時無法證明的數學敘述。

有的猜想後來證明是定理，譬如英國數學家安德魯·約翰·懷爾斯（Andrew John Wiles)於1994年證明了《費瑪定理》，俄羅斯數學家佩雷爾曼(Grigory Perelman)於2002~2003之間陸續發表論文證明了《龐加萊定理》。

可是猜想不一定都是定理，她得通得過數學嚴謹的證明，數學證明以公理為基礎，經過邏輯一步一步的無瑕的論證，確論一個定理的存在後，這個定理就永遠是對了。

可是也有猜想後來被證明是錯誤，法國費瑪猜想型如2^{(2^^k)}+1(k是非負整數)的整數都是質數，當k=0，1，2，3，4，
2^{(2^^k)}+1=3 、 5 、 17 、 257 、65537以上五個數是質數。但是1732年尤拉 (Euler)發現 k=5時，2³²=4294967297 不是質數，它可以分解成 641 × 6700417。

又如，尤拉猜想「x⁴+y⁴+z⁴=w⁴沒有正整數解」，200年來無人能證明或只是舉例否定，直到1988年美國哈佛大學的埃爾基斯(Noam Elkies)證明 x⁴+y⁴+z⁴=w⁴有無限多組正整數解，例如︰
2682440⁴+15365639⁴+187960⁴=20615673⁴。
　