足球上的白與黑


       你一定看見過足球上有黑白兩色,但不一定注意到它們的形狀和個數。其實足球上有兩種幾何圖形,即正五邊形和正六邊形。而其個數各是多少呢?

       我們先假設有 m個正 五 邊形(黑色),n個正 六 邊形(白色)在球面上。根據尤拉公式:V - E + F =  2,V代表頂點的數目,E代表邊的數目,F代表面的數目。因為三個邊共用一個頂點,所以 V= 。因為二個面共用一個邊,所以 E=。而且 F= m+n。V - E + F =  2,-+ m+ n = 2,所以 m = 12,因此有 12 塊黑色正五 邊形。

      12塊黑色正五邊形裡,每一塊正五邊形旁邊都連接 5 塊白色正六邊形,若計算12塊黑色正五邊形旁邊的白色正六邊形個數,總共是12× 5 =60個,這包含了重複計算白色正六邊形個數的結果。因為每一塊白色正六邊形的旁邊都連接 3 塊黑色正五邊形,因此每一塊白色正六邊形重覆計算了三次,所以白色正六邊形的確切個數是12 × 5 ÷ 3 = 20個,所以有 20 塊白色正六邊形。


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截角二十面體


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