圖示分數大小

圖示$\frac{a}{b}$<$\frac{a+c}{b+d}$<$\frac{c}{d}$

b>a>0且d>c>0，$\frac{a}{b}$<$\frac{c}{d}$，則如何比較 $\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$和$\frac{a+c}{b+d}$ 的大小關係？

下列圖示已經可以清楚解釋其關係

分數.gif (2805 個位元組)

也可以用代數法說明

因為$\frac{a}{b}$<$\frac{c}{d}$且 bd > 0，所以bd×$\frac{a}{b}$ < bd×$\frac{c}{d}$，因此 ad < bc。

$\frac{a}{b}$-$\frac{a+c}{b+d}$=$\frac{a(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}$=$\frac{ad-bc}{b(b+d)}$<0，因此$\frac{a}{b}$<$\frac{a+c}{b+d}$。

$\frac{c}{d}$-$\frac{a+c}{b+d}$=$\frac{c(b+d)-d(a+c)}{d(b+d)}$=$\frac{cb-da}{b(b+d)}$>0，因此$\frac{c}{d}$>$\frac{a+c}{b+d}$。

因此$\frac{a}{b}$<$\frac{a+c}{b+d}$<$\frac{c}{d}$。