卡區雪花曲線

耶誕節來臨了，同學們在窗戶裝飾一些雪花來應景，先以適當長為邊長畫正三角形，在每邊的三等分的中央段貼上一塊新正三角形，其邊長是原來正三角形邊長的$\frac{1}{3}$，完成後會有12個頂點，12個邊，周長是原來的$\frac{4}{3}$倍;如此重複下去，將可做出如上圖的卡區雪花。這條既非筆直又非圓滑的曲線稱作卡區曲線(Koch curve)，它是是最早的碎形之一，由瑞典數學家范卡區(Helge vou Koch)在西元1904年首創。碎形是具有自相似性結構的幾何圖形，就是在微觀下仍然保有相似的圖形結構。

卡區雪花是饒富趣味的雪花，製作的成長過程中，每次變形其周長變成之前的$\frac{4}{3}$倍。周長越長越長以致無限;面積也越來越大，但不會超過原來正三角形的外接圓面積。

卡區曲線(Koch curve)佔有限區間，卻能容納無限長且不會自我交叉的曲線。因為直線是1維度圖形而平面是2維度圖形，卡區曲線雖佔有空間，卻不像平面向四方無限伸展;而周長卻像直線一樣可以無限長，所以卡區曲線的維度是介於1和2之間，其維度是$\large\frac{log 4}{log 3}$=1.2618。