碎形數列

       一公里寬與一千公里寬的雲朵看起來沒有區別,將楓葉邊緣的一小部分放大,與整片楓葉也沒有區別。數學家曼德布洛特(Benoit Mandelbrot)將這種圖形稱作 碎形(fractal),它具有自我相似性(self-similar),可以不斷地產生重複。如果將圖形持續放大,看它似乎沒有盡頭,而且放大的部份與原圖形的某部份很類似,因為碎形本來就是由相似性不斷地產生所造成的。
右圖是Koch曲線,他就是
碎形,將一線段三等分,以中間那一段為邊作一正三角形 ,然後將每一線段按照這個做法重複下去。可以發現,圖形愈分愈細,而且永無盡頭,每一小線段雖然會愈趨近於0,但是不為0。

      Clark. Kimberling將下列這個數列稱作碎形數列,如果將每一個第一次出現的數刪除,將發現剩下的數列與原來一樣。

 


 

C. Kimberling 與 Harris S. Shultz設計過一種翻牌的遊戲,將一套卡片,每張正面分別印上數字1,2,3,4,5,.....,n,數字這面朝上,2在1下,3在2下,.......。之後,抽出最上面那張,正面朝上擺在這套卡片最後面,並將下一張抽出來擺放在旁邊(新抽出來的擺上頭),依此規則,直到將原卡片完全抽出擺在旁邊同一疊上,你由這疊卡片上頭第一張往下找,第幾張才會出現數字1。很妙的是,卡片總數與"第幾張"和碎形數列相關,卡片總數等於碎形數列的項次,而該項就是"第幾張"。

例如:一套卡片,每張正面分別印上數字1,2,3,4,5,按照規則,過程圖解如左,所以由上往下找到第3張就是1,而碎形數列的第5項是3


參考資料:

大自然的數學遊戲(天下文化/史都華 著作/ 葉李華 譯)
數字的異想世界(商周/ Clifford A.Pickover 著作/ 葉承志、陽台勇 譯)


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