分數的另類減法

特殊分數的另類減法
　

平常計算$\large\frac{2}{3}$-$\large\frac{1}{2}$，先通分取公分母[3，2]=6，再計算$\large\frac{4}{6}$-$\large\frac{3}{6}$= $\large\frac{1}{6}$。

但是，小明的作法卻是$\large\frac{2-1}{3\times2}$=$\large\frac{1}{6}$，分母相乘，分子相減。這是否巧合嗎？

再計算一題$\large\frac{8}{9}$-$\large\frac{6}{7}$，平常作法是$\large\frac{8\times 7}{9\times7}$-$\large\frac{6\times 9}{7\times 9}$ =$\large\frac{2}{63}$。若照小明的作法是$\large\frac{8-6}{9\times 7}$=$\large\frac{2}{63}$。

再計算一題$\large\frac{2}{3}$-$\large\frac{3}{5}$ ，平常作法是$\large\frac{2\times 5}{3\times5}$-$\large\frac{3\times 3}{5\times 3}$ =$\large\frac{1}{15}$。照小明的作法是$\large\frac{2-3}{3\times 5}$=-$\large\frac{1}{15}$。小明在這一題是錯誤的，這是為什麼?

經過觀察，發現兩個異分母相减，如果分母比分子多1，則分母相乘，分子相减，計算結果是正確的。

假設a和b都是自然數，那麼計算$\large\frac{a}{a+1}$-$\large\frac{b}{b+1}$，照平常作法是

$\large\frac{(b+1)a}{ (b+1)(a+1)}$-$\large\frac{(a+1)b}{(a+1)(b+1)}$ =$\large\frac{a-b}{(a+1)(b+1)}$。