何時 a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$和$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 會相等﹖

2$\sqrt{\large\frac{2}{3}}$=$\sqrt{2\large\frac{2}{3}}$，3$\sqrt{\large\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3\large\frac{3}{8}}$，4$\sqrt{\large\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4\large\frac{4}{15}}$，5$\sqrt{\large\frac{5}{24}}$=$\sqrt{5\large\frac{5}{24}}$，6$\sqrt{\large\frac{6}{35}}$=$\sqrt{6\large\frac{6}{35}}$，.....

你可以尋找出上述相等根式的規律嗎﹖

相等的根式 a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$存在很多嗎﹖

顯然，當 a = 1， b > 0 ，c > 0 時， a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 是不成立的。

如果 1$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{1+\large\frac{c}{b}}$，則 $\large\frac{c}{b}$=$\large\frac{b+c}{b}$，c = b+c，得 b = 0 ，這和條件 b > 0 矛盾。

假設當 a > 1，b > 0 ，c > 0 時，a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 成立，則

$\sqrt{\small{a^2}\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ ，$\large\frac{a^2c}{b}$=$\large\frac{ab+c}{b}$，因此 a²c = ab+c，即 c(a²-1) = ab，因此 ${\large\frac{c}{b}}$=$\large\frac{a}{a^2-1}$。

當 a > 1時，$a\sqrt{\large\frac{a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a^3}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a^3-a+a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a(a^2-1)+a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{a+\large\frac{a}{a^2-1}}$

由上述可知，如果 a > 1，b = a² - 1 ，c = a ，則 a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$和$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 會相等。