重 心

       國中數學第五冊3-3證明三角形的三條中垂線交於一點;分角線交於一點,獨缺證明中線交於一點。為了證明三角形三邊的中線交於一點,我們得先了解為何三角形兩邊的中點連線會平行於第三邊。

右圖,E和F是的中點,當我們選擇延長FE,並且選D點使得FE=ED,因為AE=CE,,FE=DE,所以(SAS)。因此,可得AB//DC,當然FB//DC......(1),又AF=FB,AF=CD,因此FB=DC.......(2)。由(1)(2)可知FBCD是平行四邊形,所以FD//BC=>FE//BC

現在,我們要回到主題,首先認識CE和BD是的中線,並且相交於G點。再來一記妙筆生花,延長AG並取AG=GF和BC相交於H點。我就要證明H點是BC的中點,如此證明出它就是過G點的中線,完成了三中線交於一點的證明。
因為E和G分別是AB和AF的中點,所以EG//BF,當然GC//BF囉,同理CF//BG,所以BFCG是平行四邊形,對角線FH和BC互相平分,即H點是BC中點,因此AH是中線。也就說明了的三邊中線僅交於一點。


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