多邊形

附圖,三邊形數分別是1、3、6、10、15。四邊形數分別是1、4、9、16、25。五邊形數分別是1、5、12、22、35。

 

觀察下列多邊形數

第4個四邊形數=2×(第4個三邊形數)-4,第4個五邊形數=3×(第4個三邊形數)-4×2,第4個六邊形數=4×(第4個三邊形數)-4×3

推廣到第n個x邊形數=(x-2)×(第n個三邊形數)-(x-3)n

因為第n個三邊形數=1+2+3+...+n=$\large\frac{n(n+1)}{2}$

所以第n個x邊形數=(x-2)×(第n個三邊形數)-(x-3)n=(x-2)×$\large\frac{n(n+1)}{2}$-(x-3)n=

(x-2)×$\large\frac{n(n+1)}{2}$-(x-2)n+n=(x-2)×$\large\frac{n(n-1)}{2}$+n

因此第n個x邊形數是 $\large\frac{n^2-n}{2}$(x-2)+n 

n=    x=       

 




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