等 比 的 塵 封 往 事

《莫斯科紙草書》大約是西元前1850年左右的作品，《阿美斯紙草書》(Ahmes)大約是西元前1650年的著作，它們都是使用僧侶文寫成。我們認識古埃及在數學的成就大都來自這兩份紙草文書。

《阿美斯紙草書》有一幅圖，在 7、49、343、2401、16807數字邊分別是人、貓、鼠、大麥和量器。

只有圖畫，沒有文字說明，成了一道數謎。後人解出了這道數謎，認為圖畫傳達的意思是

「 有7個人，每一個人各養7隻貓，每一隻貓都會捕食7隻老鼠，而每一隻老鼠會偷吃7株麥穗，每一株麥穗的種子可裝滿7個量杯，… 。」

7、49、343、2401、16807應該是最早出現在文獻的等比數列了。南北朝《孫子算經》記載一道計算題「今有出門望見九堤，堤有九木、木有九枝，枝有九巢， 巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？」，就是以9為首項，9為公比的等比數列。　

古印度傳說，國王非常喜歡64格的西洋棋，決定重賞發明人希薩，國王願意給他任何所期望的獎賞。

希薩只希望國王賞給他麥子，首先在棋盤的第一格放一粒麥子，第二格放兩粒麥子，第三格放四粒麥子，第三格放八粒麥子，……，依此類推，每一格的麥子數都是前一格的2倍。國王認為棋盤只有64格，滿足希薩所需要的麥子應該不多，便答應了希薩的要求。宮廷負責計算的臣子對於計算的結果是大吃一驚。麥粒總數2⁶⁴ -1是天文數字18446744073709551615，拿印度所有穀倉的麥子全賞給希薩還是不夠數。

2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+........+2⁶³=$\large\frac{2^{64}-1}{2-1}$=2⁶⁴ -1

假設一秒可數5粒麥子，算算看數完18446744073709551615粒麥子，需要多久的時間？

大概要1.169×10¹¹年，約117億年。根據天文與地質學家估計地球年齡大約是45億~46億之間。

等比計算器