由正方形作等邊八邊形


      在正方形ABCD四個邊上的中點分別是EFGH點。連結頂點與中點就可以得到 等邊八邊形MNOPQRST,如右圖。

      長方形BCHF的對角線BH=CF且互相平分,因此BS=CS。所以△SBC是等腰三角形,且∠SBC=∠SCB,當然∠VBC=∠WCB。...(1)
因為△ABG△DCG (SAS),所以∠AGB=∠DGC...(2)。

      由於(1)(2)且BG=CG,所以△BGV△CGW (ASA),因此BV=CW,∠BVG=∠CWG...(3)。

因為BS=CS,BV=CW,所以BS-BV=CS-CW,SV=SW...(4)。

       在△RVS與△TWS中,由於(3),且對頂角相等,因此∠RVS=∠TWS...(5)。因為(4)(5)且∠RSV=∠TSW,可證明△RVS△TWS (ASA),所以RS=TS...(7)。

       由於CE=CF,且CM=CE=CF=CS,因此△CSM是等腰三角形,所以∠CSM=∠CMS...(8)。因為△BSC△DMC (SSS),可知∠BSC=∠DMC,因此∠TSW=∠TMX...(9)。由(8)(9)知∠CSM-∠TSW=∠CMS-∠TMx,即∠MST=∠SMT,△MST是等腰三角形,且TS=TM...(10)。

      根據(7)(10)的證明可類推得知任意兩鄰邊都相等,即八邊形MNOPQRST的 八個邊都相等。這裡要提醒大家的是,等邊八邊形不一定是正八邊形,除非內角都相等,而我們目前討論的等邊八邊形並不是正八邊形。


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