尺規無法三等分任意角

可以有限次尺規作圖畫出的數稱為規矩數或可造數，這些數包括有理數、二次方根、有理數+二次方根，以及他們經過加、減、乘、除、開平方根的數。
例如$\dfrac{5}{6}$、$\sqrt{3}$、$\dfrac{5}{6}+\sqrt{3}$、$\sqrt{\dfrac{5}{6}+2\sqrt{3}}$、$\sqrt{5-\sqrt{\dfrac{5}{6}+2\sqrt{3}}}$  等。

由於19世紀數學家阿貝爾(Abel)和迦羅瓦(Galois)的研究，我們知道如果一個實數是規矩數，那麼它一定是一個最高次數是2ⁿ的整係數質方程式的解，其中n是自然數。....(1)
質方程式也稱作不可約方程式，它在整數系無法因式分解，例如x²-5=0、x²+x-1=0都是質方程式。

$\sqrt{5}$和$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$都是規矩數，其中$\sqrt{5}$是x²-5=0的解，$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$是x²+x-1=0的解，這兩個方程式的最高次數是2的一次方。

為什麼尺規無法三等分任意角?

舉例說明尺規無法三等分60度角

假設尺規可以三等分60度角，則cos20°是規矩數。
已知$ cos 3\theta=4cos^3\theta-3cos\theta$，
令θ=20°，cos θ=x，則
$\frac{1}{2}$=4x³-3x，得8x³-6x-1=0。

根據牛頓一次因式檢驗法知8x³-6x-1沒有一次因式，所以8x³-6x-1=0是質方程式，而且cos20°是其解。可是8x³-6x-1=0最高次數3不是2的次方，這和(1)結論是矛盾的，所以假設尺規可以三等分60度角是錯誤的，因此得知尺規無法三等分60度角。