等和的三角形周邊數

 

三角形每一邊需填入三個數,使得每一邊的三個數相加和都相等。如果填入的數是自然數1、2、3、4、5、6,則有幾組解?( 一組解和其經過旋轉對稱或反射對稱所得到的解都視作同一組解 )

 

 

上圖,a+b+c+x+y+z=1+2+3+4+5+6=21,且 a+x+b=b+y+c=c+z+a=s,因此(a+b+c+x+y+z)+a+b+c=3s,
a+b+c=3s-21。
因為 1+2+3 ≦ a+b+c ≦ 4+5+6,6 ≦ a+b+c ≦ 15,所以6 ≦ 3s-21 ≦ 15,27 ≦ 3s ≦ 36,得 9 ≦ s ≦ 12。

 

(1) 當 s=9時,圖一和圖二是反射對稱,圖一和圖三是旋轉對稱,圖一和圖四是旋轉對稱,將圖一圖二圖三圖四視為同一組解。

 

(2) 當 s=10時,

 

(3) 當 s=11時,

(4) 當 s=12時,

 

由上述可知將1、2、3、4、5、6填入每一邊有三個數的三角形,如果每一邊的三數相加和相等,則有四組解。

 

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