行列式導多項式乘法公式

已知二階行列式$\begin{vmatrix}a & b \\c & d \\\end{vmatrix}$ = ad-bc，因此$\begin{vmatrix}a & b \\b& a \\\end{vmatrix}$ =$a^2-b^2$，

因為$\begin{vmatrix}a & b \\b& a \\\end{vmatrix}$ =$\begin{vmatrix}a +b& b+a \\b& a \\\end{vmatrix}$ ，且

$\begin{vmatrix}a +b& b+a \\b& a \\\end{vmatrix}$ =$a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)$，

所以$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ ...(公式1)

已知三階行列式$\begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f\\g & h & i\\\end{vmatrix}$ =$ aei+dhc+gfb-ceg-fha-idb $，因此$\begin{vmatrix}a & 0 & b \\b & a & 0 \\0 & b & a\\\end{vmatrix}$ =$ a^3+b^3 $。

因為$\begin{vmatrix}a & 0 & b \\b & a & 0 \\0 & b & a\\\end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix}a+b+0 & 0+a+b & b+0+a \\b & a & 0 \\0 & b & a\\\end{vmatrix}$，且

$\begin{vmatrix}a+b& a+b & b+a \\b & a & 0 \\0 & b & a\\\end{vmatrix}$

=$a^2(a+b)+b^2(a+b)-ab(a+b)=(a+b)(a^2+b^2-ab)$，

所以$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $ ...(公式2)

因為$\begin{vmatrix}a & b & c \\c & a & b \\b & c & a\\\end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix}a+c+b & b+a+c & c+b+a \\c & a & b \\b & c & a\\\end{vmatrix}$，所以

$a^3+c^3+b^3-3abc=(a+b+c)(a^2+c^2+b^2-ab-bc-ac)$，即

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$ ...(公式3)