梅森質數與完全數

 

 

完全數(Perfect number)的所有真因數相加的和等於完全數本身,而梅森質數型如2p-1,其中p是質數。

如果一個梅森質數是2p-1,其中p是質數,則 2p-1(2p-1)是完全數。為什麼

以M(P)表示梅森質數 2p-1,則 2p-1M(P)的所有正因數有1,2,22,23,.....,2p-1M(P),2M(P),22M(P),23M(P),.....,2p-1M(P)

因為 2p-1M(P)的所有真正因數和

(1+2+22+23+.....+2p-1)+M(P)(1+2+22+23+.....+2p-2)

=  ($\large\frac{2^{p}-1}{2-1}$)+(2p-1) ($\large\frac{2^{p-1}-1}{2-1}$)

= (2p-1)+(2p-1)(2p-1-1)

= (2p-1)(1+2p-1-1)

= (2p-1)(2p-1) =M(P) (2p-1) 所以 2p-1M(P)是完全數。

 

2018年1月3日找到第50個梅森質數M(77232917)是277232917-1,由上述可知 277232916( 277232917-1)是完全數。

 

 

 

 

相關連結:一個梅森質數的最高位數字和個位數字

 

 


 


Copyright ©
昌爸工作坊 all rights reserved.