從不定方程式談分油問題

一道趣味數學題提到,有位農夫到油行,想買兩袋5公升的麻油。但是油行裡除了三個容積分別是10公升、7公升、3公升的量油杯之外,沒有任何測量工具。油行老闆如何運用這3個量杯,倒出兩個5公升的麻油呢?
我們感到興趣的是,這3個量杯是否可以完成老闆和農夫的需求。如果量杯的容積分別是10公升、6公升、4公升或是10公升、8公升、2公升,是否也可以完成老闆和農夫的需求呢?
首先,油行老闆以10公升的量杯裝滿麻油,再將麻油在3個量杯之間倒來倒去,直到有兩個量杯的麻油體積是5公升。而這「倒來倒去」的過程,就數學來說,就是在不同量杯之間麻油容量體積上進行加減運算。從不定方程式來看這道題,我們可假設老闆將麻油倒進7公升的量杯x次;麻油由7公升量杯倒進3公升的量杯y次,因為最後7公升量杯內裝5公升麻油,所以7x-3y=5。
,設,且t 是正整數。x=3t-1,y=2(3t-1)-2+t=7t-4。所以

取t=1時,x=2,y=3。也就是說在倒麻由的過程中,老闆將麻油倒進7公升的量杯2次麻油由7公升量杯倒進3公升的量杯3次。可以完成老闆和農夫的需求,倒出兩杯各5公升的麻油。
如果以(a,b,c)表示容積10公升、7公升、3公升量杯內麻油的容量,則過程是(10,0,0)-->(3,7,0)-->(3,4,3)-->(6,4,0)-->(6,1,3)-->(9,1,0)-->(9,0,1)-->(2,7,1)-->(2,5,3)-->(5,5,0)

如果量杯的容積分別是10公升、6公升、4公升,照上述假設,6x-4y=5,(6,4)=2不是5的因數,所以這個不定方程式沒有整數解。而8x-2y=5也沒有整數解,因此容積10公升、6公升、4公升的量杯或是10公升、8公升、2公升都無法完成老闆和農夫的需求的。


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