縫 隙

將一個邊長是8的正方形,按照上圖方式剪裁,然後拼成長寬分別是13和5的長方形。(按Play鍵)乍看,似乎沒問題,但細算一下,原來正方形的面積是 8× 8 =  64,而長方形的面積是 5×13 = 65,顯然,長方形的面積比正方形多1,其實長方形中間部分是有縫隙的,而縫隙的面積正好是1。

西元1680年卡西尼發現斐波數列有一個性質:,第n項的平方減去第n-1項和第n+1項的乘積等於(-1)n+1。你應該發現正方形和長方形的邊長 5、8、13就是斐波數列1,1,2,3,5,8,13,....中相鄰的三項,而且 82 - 5 × 13 = (-1)6+1= -1。

如果仿照上圖方式剪裁正方形,然後拼成面積相同長方形。可能嗎?如果是,該如何裁減呢?
如右圖,(x+y)2 = (x+x+y)x,因此
x2 - xy - y2 = 0。令 t = ,則
t2 - t - 1 = 0,解得 t = 。也就是說=時,其實是黃金分割,如此剪裁正方形就可以拼成面積相同 的長方形了。
 

延伸閱讀:世界名題欣賞斐波那契數列(九章出版社)


Copyright ©昌爸工作坊 all rights reserved