牛頓的牛吃草問題

牛頓在《廣義算術》(Arithmetica Universalis,1707年)提出一個問題: 「 牧場上整片草原上的草生長速率一樣,如果三頭牛在二星期吃完 2 畝地的草; 而 二 頭牛在四星期吃完 2 畝地的草。則需要多少頭牛,才能在六星期吃完 6 畝地的草?」 (假設每星期增加的草量相同,每頭牛在相同時間的食量相同)

假設牧場每一畝地原有草量x,每星期增加草量y則一畝地二星期後的草量是x+2y一畝地二星期後的草量是x+4y

已知「3 頭牛在2星期吃完 2 畝地的草」,即3頭牛2星期的食草量是2(x+2y),因此

每一頭牛每星期的食草量是$\large\frac{2(x+2y)}{3\times 2}$=$\large\frac{x+2y}{3}$。....(1)

已知「2 頭牛在4星期吃完 2 畝地的草」,2頭牛4星期的食草量是2(x+4y),因此

每一頭牛每星期的食草量是$\large\frac{2(x+4y)}{2\times 4}$=$\large\frac{x+4y}{4}$。....(2)

由(1)(2)知$\large\frac{x+2y}{3}$=$\large\frac{x+4y}{4}$,得x=4y。即每一頭牛每星期的食草量是2y

假設a頭牛在六星期吃完 6 畝地的草,則每頭牛每星期的食草量是$\large\frac{6(x+6y)}{a\times 6}$=$\large\frac{x+6y}{a}$=$\large\frac{10y}{a}$。

因為$\large\frac{10y}{a}$=2y,所以a=5,也就是說5頭牛在六星期吃完 6 畝地的草。


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