達文西的多面體素描

     正四面體正八面體正二十面體的每一面都是正三角形,正方體的每一面是正方形,而正十二面體的每一面都是正五邊形。

          <<達文西-科學第一人(The First Scientist)>>書中提及達文西(Leonardo de Vinci)曾經作過一幅封閉多面體的素描,就像右圖,這個多面體由邊長一樣的正三角形與正五邊形組合而成,而且正五邊形的每邊都與正三角形共邊,正三角形的每邊也都與正五邊形共邊。那麼它應該包含有幾個正三角形和正五邊形呢?

      因為多面體的頂點數 邊數 + 面數 = 2 (尤拉公式),觀察右圖,不難發現甲乙丙丁共用一個頂點,而且甲乙共用一個邊。如果有a的正三角形,b個正五邊形,那麼,這個多面體就有( 3a + 5b ) ÷ 4個頂點,( 3a + 5b ) ÷ 2個邊,並且有 a + b個面。因此,( 3a + 5b ) ÷ 4 - ( 3a + 5b ) ÷ 2 + ( a + b ) = 2,即 a - b = 8  .....(1); 又因為所有正三角形的邊個數和正五邊形的邊個數是一樣的,即3a = 5b....(2)。

由(1)(2)可知 a = 20,b = 12。所以,達文西(Leonardo de Vinci)所畫的多面體,其實體應該由20個正三角形和12個正五邊形組合而成。

 


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