凸四邊形的重心

如圖,將四邊形ABCD懸掛於空中,保持平衡使得四邊形ABCD和地面平行。I點是△ABD的重心,J點是△CBD的重心,I J//PQPI//DL//QJ。根據物理槓桿原理,若ILJL=△CBD面積:△ABD面積,則懸掛點L就是四邊形ABCD的重心。那麼要如何在IJ上取得L點呢﹖



I點是△ABD的重心,J點是△CBD的重心,而且I JDB於K點。

△ABD面積:△CBD面積=△DIB面積:△DJB面積。

如果 INDBJMDB,其中N點和M點是垂足,則 △DIB面積:△DJB面積= INJM
因為直角△INK~直角△JMK(AA相似),所以
INJM=IKJK
因為△DIB面積:△DJB =
IKJK,所以△ABD面積:△CBD=IKJK
根據槓桿原理,如果L點是四邊形ABCD的重心,則L在
IJ上並且滿足△ABD面積:△CBD面積 = JLIL,即 JLIL=IKJK


已知L點在 I J
JLIL=IKJK,若假設 I J =1,IK=x,KL=1-x,則 IL x=JL(1-x),( IL+JL )x= JL,得 1x= JL,所以 JL=IK,因此IL=JK

由上述可知,如果要取得四邊形ABCD的重心,可以先畫四邊形ABCD的對角線AB,把四邊形分成△ABD和△CBD,再分別取其重心I點和J點;連結 IJ 交對角線AB於K點。
先任選其中一個重心,並且以此重心到K點的距離作為半徑,而以另外一個重心為圓心畫圓弧交I J 於L點,則L點就是
四邊形ABCD的重心。


參考資料: 三角形的重心(愛學網) 含槓桿原理說明


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