四分之ㄧ圓與相切的半圓

      正方形內有一個以AD邊長為半徑的,要如何在正方形內畫一個半圓與這個相切,並且圓心在BC邊上呢?
關鍵點是要如何找到這個半圓的圓心,你可以約略畫個合乎題目要求的草圖,如左圖。假設正方形的邊長是a,G點是相切半圓的圓心,其半徑是 r。因為相切兩圓的連心線通過切點,所以D、F、G共線。而在直角△GDC中,斜邊DG= a+r,DC= a,且GC= a-r。根據商高定理可以列出關係式 (a+r)2=(a-r)2+a2,化簡左式可得 a= 4r,所以 GD : DC : CG = 5 : 4 : 3 ...(1)。現在你只要將BC四等分,第一個等分點G就是半圓的圓心,並以BG當半徑在正方形內畫半圓,就可以與圓相切於F點。

         如果畫出它們的內公切線並與 AB、BC 分別相交於 M、N 點,則△MNB~△GDC。因為一圓的切線長相等,所以MA=MF,且MB=MF,因此M是AB邊的中點。假設AB= a,則 MB=a。令NF=b,則NC=b,所以BN= a-b。直角△MBN中,MN=a+b,BN= a-b,MB=a,因此(a)2+(a-b)2=(a+b)2,化簡可得 a=3b。所以MN : NB : BM = 5 : 4 : 3 ...(2),由(1)(2)可知△GDC與△MNB的對應編成比例,因此△MNB~△GDC。

 


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