長方形的對角線

在Thinking Mathematically這本書裡,有一道題:「方格紙上畫上一個三格乘以五格的長方形,並且連起一條對角線。有多少方格和對角線接觸?」
首先考慮長和寬互質(最大公因數是1),試著畫畫如右圖,並數一數接觸的方格數,將結果列表如下表。

 

接觸的方格數目
2 1 2
3 1 3
4 1 4
3 2 4
5 2 6
7 2 7
4 3 6
5 3 7
7 3 9
     
     

發現表格中,長與寬的相加結果多比接觸的方格數目多1。我們可以猜想「一個長方形長、寬分別是整數 x 和 y,並且互質,則其中一條對角線接觸的方格數目= ( x + y )-1 」。當然,我們也可以猜想「一個長方形長、寬分別是整數 x 和 y,並且不互質,其最大公因數是 c (不是1),則其中一條對角線接觸的方格數目= 」。

你可以試著檢驗它的正確性並說明之。






 

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