尺規作圖正多邊形

 

1798年,19歲數學家高斯發表完成尺規作圖正17邊形,並證明「如果奇數邊形的邊數是費瑪質數或是相異費瑪質數的乘積,就可以尺規作圖費馬質數型如$2^{2^k}$+1,k=01234

k

0

1

2

3

4

Fk

F0

F1

F2

F3

F4

$2^{2^k}$+1

3

5

17

257

65537

1732年尤拉(Euler)提出F5不是質數F5=4294967297=641×6700417猜想 k>4時,$2^{2^k}$+1都不是質數。目前已經證明F5~F32都是合數。

如果n是2k或相異費瑪質數的乘積,則 n邊形可以尺規作圖。」

n = 3、4、 5 、6 、8、 10 、12 、15、16、17、 20 、24、 30、 32、34、 40、48、51、 60、64 、68、80、85、96、... ,則可以尺規作圖n邊形。

n = 7 9 11 13 14 18 19 21 22 23 25 26 27 28 29 31 33 35 36...則不能尺規作圖n邊形。

 

尺規作圖正三邊形和正六邊形

取適當長r為半徑畫圓,在圓周上任取一點以此點為圓心r為半徑作弧,同法再連取二個等弧,連接交點,可得正三邊形。

如果取三個等弧的中點,可以連成正六邊形。

尺規作圖正四邊形和正八邊形

取適當長為半徑畫圓,畫二條互相垂直的直徑,連接交點,可得正四邊形。

如果取四個等弧的中點,可以連成正八邊形。

尺規作圖正五邊形

  1. 畫一圓 C。

  2. 作直徑AB

  3. BC的中點D。

  4. 過C點作AB的垂直線交圓C於P點。

  5. 以D點為圓心,DP為半徑畫弧交AB於E點。

  6. 以P點為圓心,PE為半徑畫弧交圓於一點。再連續取四個等弧,連接交點,就可以作出正五邊形。

假設圓的半徑 r,圓內接正五邊形的邊長 a,則 a2=r2+r2-2×r×r×cos72°=2r2(1-$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$)=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$r2 a=$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$r。


證明:CP= r,取CD=$\frac{1}{2}$r,因此PD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$r。

因為DE=PDCE=DE-CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$r-$\frac{1}{2}$r=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$r,

所以 PE=$\sqrt{(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2+1^2}$r = $\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$r 。

 


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