古希臘的尺規作圖使用的直尺是沒有刻度，尺規作圖可作邊數是2n、3×2n、5×2n等正偶數邊形，但是3、5、7、9、11、13、15等卻不是簡單事，而且不是所有正奇數邊形都可以尺規作圖。
1798年，19歲數學家高斯尺規作圖正十七邊形，並證明「正奇數邊形的邊數是費馬質數，或是不同的費馬質數相乘積，才可以尺規作圖。」，費馬質數型如$2^{2^k}$+1，k是非負正整數。
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k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| Fk | F0 | F1 | F2 | F3 | F4 |
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$2^{2^k}$+1 |
3 |
5 |
17 |
257 |
65537 |
當k=0、1、2、3、4時，$2^{2^k}$+1都是質數，這是目前已知的5個費馬質數。1732年尤拉(Euler)提出F5不是質數，F5=4294967297=641×6700417。猜想︰ 「k＞4時，$2^{2^k}$+1都不是質數」。
由於只找出五個費馬質數，因此尺規作圖的正奇邊形，其邊數是費馬質數與費馬質數的乘積，包括3、5、7、9、11、13、15、3×5、3×17、3×5×7、17×257、...、3×5×17×257×65537共31個，其中最大的正奇數邊形的邊數是429712995。
可以尺規作圖的正多邊形，若邊數小於100，則有24個如下：
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3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
10 |
12 |
15 |
16 |
17 |
20 |
24 |
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30 |
32 |
34 |
40 |
48 |
51 |
60 |
64 |
68 |
80 |
85 |
96 |
取適當長r為半徑畫圓，在圓周上任取一點
，以此點為圓心，r為半徑作弧，同法再連取二個等弧，連接交點，可得正三邊形。如果取三個等弧的中點，可以連成正六邊形。
取適當長為半徑畫圓，畫二條互相垂直的直徑，連接交點，可得正四邊形。
如果取四個等弧的中點，可以連成正八邊形。
畫一圓 C。
作直徑AB。
作BC的中點D。
過C點作AB的垂直線交圓C於P點。
以D點為圓心，DP為半徑畫弧交AB於E點。
以P點為圓心，PE為半徑畫弧交圓於一點。再連續取四個等弧，連接交點，就可以作出正五邊形。
假設圓的半徑
r，圓內接正五邊形的邊長 a，則 a2=r2+r2-2×r×r×cos72°=2r2(1-$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$)=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$r2，得 a=$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$r。
證明：CP= r，取CD=$\frac{1}{2}$r，因此PD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$r。
因為DE=PD 且 CE=DE-CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$r-$\frac{1}{2}$r=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$r，
所以 PE=$\sqrt{(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2+1^2}$r = $\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$r 。
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