尺規作圖正多邊形

正三、六邊形 正四、八邊形     正五邊形

直尺、圓規和量角器可以畫出任意正多邊形。但是在古希臘時,作圖只使用沒有刻度的直尺(unmarked ruler)和圓規(compass)。用尺規作正偶邊形如2n,3×2n,5×2n等正多邊形並非難事。但對正奇邊形如3,5,7,9,11,13,15等的作圖,在當時是件困難的事,而且並非全都可以作圖成功。1798年,德國數學家高斯只有19歲,他成功的以圓規直尺做出一個正十七邊形,並證明了正奇邊形的邊數只有是費馬質數或不同的費馬質數乘積才可以尺規作圖出來(費馬質數是質數且型如,k是非負正整數)。當高斯去世後,人們為了紀念這位偉大的數學家,在他的故鄉(Brunschweig)的紀念碑上刻了這個正17邊形。

k

0

1

2

3

4

5

3

5

17

257

65537

4294967297(合數)

當k=0,1,2,3,4時都是質數,但一般猜測 k>4時,都不是質數。由於我們目前知道只有五個費馬質數存在,所以用圓規可以做出的正奇邊形是3,5 ,17,257,65537,以及這五個數的兩兩相乘積。如3×5,3×17,17×257等共31個。而最大的正奇邊形的邊數是4294967297。
邊數小於100,可以尺規作圖的正多邊形如下:

3

4

5

6

8

10

12

15

16

17

20

24

30

32

34

40

48

51

60

64

68

80

85

96

正三邊形和正六邊形

取適當長為半徑畫圓,以同半徑在圓周上取弧,再連續可取二個等弧,連接端點,可以連得正三邊形。(下圖,紅色部分)。如果取三個等弧的中點,可以連成正六邊形(下圖,綠色部分)。

正四邊形和正八邊形

取適當長為半徑畫圓,畫二條互相垂直的直徑,連接端點,可以連得正四邊形(下圖,紫色部分)。如果取四個等弧的中點,可以連成正八邊形(下圖,紅色部分)。

正五邊形

  1. 畫一圓 C。

  2. 作直徑AB。

  3. 取BC中點D。

  4. 過C點作AB的垂直線交圓C於P點。

  5. 以D點為圓心,DP為半徑畫弧交AB於E點。

  6. 以P點為圓心,PE為半徑畫弧交圓於一點。再連續可取四個等弧,連接端點,就可以做出正五邊形。

 

 

 

說明:

如果圓半徑是 r,圓內接正五邊形的邊長是 a。則 a2=r2+r2-2×r×r×cos72°=2r2(1-)=r2

因此 a=r。
證明:CP= r,CD=,因此PD=r。而CE=r,所以 PE=× r = r 。

 


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