平方式巧解分配問題
 

      有一堆一元銅板,總數是一個平方數,阿丹阿華依序從這堆壹元銅板裡輪流拿取10個銅板,最後一輪阿丹還可拿10個銅板,但是阿華卻拿不滿10個。阿丹最少需拿出多少銅板給阿華,兩人的銅板才會一樣多?
    我們應該注意兩點,其一,
銅板總數是一個平方數 ﹔其二,兩人可以平分銅板,總數是偶數。如果有n2個壹元銅板,第x輪時阿丹還拿10個銅板,但是阿華只有 a 個可拿 ( 其中 a是整數且 0 < a ≦ 9 )。因為 n2 = 10(2x+1)+a,平方數的個位數是 0、1、4、5、6、9之一,所以 a 可能是 1、4、5、6、9。但是 n2 是偶數,所以 a 限制在 4 或 6 。
    當 a = 4,則 n2 = 10(2x+1)+a= 20x+14 = 2(10x+7),因為 10x+7沒有因數2,所以2(10x+7)不會是平方數,而這和 2(10x+7)=n2 是矛盾的,因此 a≠4。
    當 a = 6,則 n2 = 10(2x+1)+a= 20x+16 = 4(5x+4),這是有解的。如果x=12,則 n=16﹔x=28,則 n=24﹔.................

    因為最後一輪,阿丹拿10個一元銅板,而阿華只 拿 6 個一元銅板。為了讓兩人的銅板一樣多,阿丹只好拿出2個壹元銅板給阿華

     


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