四角數與畢氏定理

      畢達歌拉斯學派的學生們玩石子排列凸多邊形,研究欣賞三角數、四角數、...等多角數,其中三角數是1,3,6,10,15,21,........,第n個三角數可以巧妙的排列(如右圖)計算出來。圖一,石子共有1+2+3+4+......+n個;圖二的石子總數是1+2+3+4+......+n的2倍,但是圖二石子總數=n(n+1),因此1+2+3+4+......+n=,所以第n個三角數是。我猜測數學王子高斯或許在幼兒時曾玩過像這樣的堆石頭遊戲,而它啟發少年時的高斯

求1+2+3+.......+98+99+100的令人讚嘆算法。

      四角數是1,4,9,16,25,......,第n個四角數是n2。第x個三角數與第(x+1)個三角數相加結果是第(x+1)個四角數;但是第x個四角數與第(x+1)個四角數相加結果卻不是第(x+2)個四角數,那麼是否存在二個相異四角數相加結果還是四角數嗎?

      我們分析右圖來討論這問題,四角數n2,再加( 2n+1 ),就是一個新的四角數( n+1)2,也就是說n2+2n+1=(n+1)2。我們的問題變成如何找出一個四角數是2n+1,假設這個四角數是m2,即 m2=2n+1, m2是奇數,因此m2可能是9,25,49,81,.......,(2k+1)2,其中k是正整數。例如:42+9=52,122+25=132,242+49=252。這些算式等同42+32=52,122+52=132,242+72=252,其中(4,3,5)、(12,5,13)、(24,7,25)就是畢氏數組。

 

延伸閱讀:方格遊戲的探討(全國第45屆科展數學第三名)


 


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