怪店不怪--談數學歸納法

 

   我們曾經討論過怪店」的巧妙定價,店裡售價由顧客按著牆上佈告牌的步驟,自己決定價錢。步驟如下:

  1. 將蛋塔分成兩堆,將兩堆的蛋塔個數相乘得第一個乘積。

  2. 將第一堆和第二堆再分成兩堆(每堆至少一個),又可得到兩個乘積。

  3. 依此類推下去,直到每一堆剩下一個蛋塔為止。

  4. 將以上各乘積相加,這些乘積的和就是每盒蛋塔的價錢。

為何循上述步驟後,所付費用是一樣呢?

我們先談談一場成功的骨牌遊戲,一定是從第1塊骨牌推倒第2塊開始,接下來就是第2塊推倒第3塊,...依此類推,並且在結束前的過程當中,沒有發生無法順利推倒下一塊的狀況。
假定我們找到一副骨牌,骨牌數是可數的,卻數不完,每一塊骨牌的次序編號與自然數是1對1的對應。但是要如何確定每塊骨牌都被推倒了呢?如果第1塊骨牌推倒第2塊開始之後,過程中都能確定下一塊骨牌被推倒,那麼就能確認整副骨牌倒了。

義大利數學家皮阿諾 (G. Peano) 致力於符號形式邏輯與基礎數學的研究,他在1889年以拉丁文印製一本小書,只有36頁,書名為《算數原理,以一個新方法表示》(The principles of arithmetic, presented by a new method)。這本書中將自然數(正整數)的一些性質抽象化而得到一組公設,利用這組公設並以邏輯的演繹而得到所有自然數的性質,我們稱這些公設為皮阿諾公設皮阿諾把每一個自然數的下一個數稱為這數的「後繼元素」(successor),用後繼元素的說法,這組皮阿諾公設如下:
一、 1 是自然數
二、 每一個自然數有一個自然數作他的後繼元素
三、 1不是一個後繼元素
四、 不同數不可能有相同的後繼元素
五、 設 S 是 N(自然數;正整數) 的子集(部分集合),若 1 是 S 的元素,且S 中的每一個元素的後繼元素
       也是 S 的元素,則 S 就是 N ,也就是「數學歸納法原理」。
 

當我們使用數學歸納法證明那些對所有自然數都成立的數學命題時,通常用 P(n) 來表示這個命題,並且採取下列步驟證明:
一、 P(1) 成立
二、 假設P(n) 成立,並由P(n) 成立,可以推得 P(n+1) 成立
 

 如果蛋塔有n個,依本文第一段所列(1)~(4)步驟,價錢P(n)都是,其中 n >1。

我們試著藉數學歸納法證明上列命題是正確的。

一、 n=2時
,命題顯然成立     


      n=3時
,命題也顯然成立        

二、假設 n=k時,P(k)=成立。因為,其中 k≧x≧1。

    P(k+1)=x(k+1-x)+p(x)+p(k+1-x)=,,所以n=k+1時,P(n)成立。
    因此,命題成立。
 

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