和化積

三角函數的和化積公式

sin α+sin β=2 $cos\frac{\alpha-\beta}{2}$× $sin\frac{\alpha+\beta}{2}$
cos α+cos β=2 $cos\frac{\alpha-\beta}{2}$× $cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

半圓半徑OA=1，∠AOE=α，∠BOE=β，OM垂直平分AB，AC⊥OE，MD⊥OE，BE⊥OE。
AC=sinα，OC=cos α；BE=sin β，OE=cos β。

OM平分∠AOB，∠AOM=$\frac{\alpha-\beta}{2}$，OM=$cos\frac{\alpha-\beta}{2}$。

∠MOD=$\frac{\alpha-\beta}{2}$+β=$\frac{\alpha+\beta}{2}$，MD= $cos\frac{\ \alpha-\ \beta}{2}$× $sin\frac{\ \alpha+\ \beta}{2}$ 。

梯形ACEB，M是AB的中點，中線MD=$\frac{\overline{AC}+\overline{BE}}{2}$=$\frac{sin\ \alpha+sin\ \beta}{2}$。

因為$\frac{sin \alpha+sin \beta}{2}$=$cos\frac{\alpha-\beta}{2}$× $sin\frac{\alpha+\beta}{2}$ ，所以sin α+sin β=2 $cos\frac{\alpha-\beta}{2}$× $sin\frac{\ \alpha+\ \beta}{2}$ 。 ... (1)

因為D是CE的中點，CD=$\frac{\overline{OE}-\overline{OC}}{2}$=$\frac{cos\ \beta-cos\ \alpha}{2}$，所以OD=OC+CD=cos α+$\frac{cos\ \beta-cos\ \alpha}{2}$=$\frac{cos\ \beta+cos\ \alpha}{2}$。

因為OD=$cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $cos\frac{\alpha+\beta}{2}$ ，因此 $\frac{cos\ \beta+cos \ \alpha}{2}$=$cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $cos\frac{\alpha+\beta}{2}$ ，所以cos α+cos β=2 $cos\frac{\alpha-\beta}{2}$× $cos\frac{\alpha+\beta}{2}$ 。 ... (2)

由以上圖解可知

sin α+sin β=2 $cos\frac{\alpha-\beta}{2}$× $sin\frac{\alpha+\beta}{2}$
cos α+cos β=2 $cos\frac{\alpha-\beta}{2}$× $cos\frac{\alpha+\beta}{2}$