團團圍住--學測題的延伸
 

94年第二次學測數學第15題


小明
有一些大小相同的正五邊形,他用下列方式將正五邊形擺放在一圓周上,如右圖所示

(1)每個正五邊形與相鄰的正五邊形皆有一邊緊密放在一起

(2)每一個正五邊形皆有一邊與圓相切

若這些正五邊形正好將此圓全部圍住,則這些正五邊形最少有幾個?10

 

學生若能轉換問題,成為求解正多邊形的邊數,問題就簡化了許多。

延伸上題,試想有哪些正多邊形可以滿足以下條件,並將一圓團團圍住, 最少需要幾個此正多邊形呢?

(1)每個正n邊形與相鄰的正n邊形皆有一邊緊密放在一起

(2)每一個正n邊形皆有一邊與圓相切

若正n邊形滿足上述條件,則此圓的外切正多邊形的每一個內角是

外切正多邊形的每一個外角是

因為多邊形外角和恆為360∘,所以圓的外切正多邊形應有個 等邊。

n 5 6 8 12
邊數 10 6 4 3
所需正多邊形個數 10 6 4 3

 

可見數學學測第15題目內的正5邊形只能換作正6邊形正8邊形或是正12邊形,否則無解了。




 

正8邊形

正6邊形

正12邊形


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