團團圍住--學測題的延伸
94年第二次學測數學第15題
小明有一些大小相同的正五邊形,他用下列方式將正五邊形擺放在一圓周上,如右圖所示 (1)每個正五邊形與相鄰的正五邊形皆有一邊緊密放在一起 (2)每一個正五邊形皆有一邊與圓相切 若這些正五邊形正好將此圓全部圍住,則這些正五邊形最少有幾個?10
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學生若能轉換問題,成為求解正多邊形的邊數,問題就簡化了許多。
延伸上題,試想有哪些正多邊形可以滿足以下條件,並將一圓團團圍住,
最少需要幾個此正多邊形呢?
(1)每個正n邊形與相鄰的正n邊形皆有一邊緊密放在一起
(2)每一個正n邊形皆有一邊與圓相切
若正n邊形滿足上述條件,則此圓的外切正多邊形的每一個內角是
外切正多邊形的每一個外角是
因為多邊形外角和恆為360∘,所以圓的外切正多邊形應有個 等邊。
n | 5 | 6 | 8 | 12 |
邊數 | 10 | 6 | 4 | 3 |
所需正多邊形個數 | 10 | 6 | 4 | 3 |
可見,數學學測第15題目內的正5邊形只能換作正6邊形、正8邊形或是正12邊形,否則無解了。 |
正8邊形 |
正6邊形 |
正12邊形 |
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