計程車數
(Taxicab number)

 

哈代英國著名數學家哈代如此評論印度天才數學家拉瑪奴江:「 他在某些知識上的缺陷如同他所創造知識的深刻一樣令人吃驚。這是一個能夠發現模形式(數論範疇)和定理的人……,他對連分數的掌握……超越任何一個數學家,他發現了ζ函數的泛函方程和解析數論中的很多著名問題的主導項;但是他卻沒有聽說過雙周期函數或者柯西定理,對複變函數也只是模糊的概念............... 」

自古文人相輕,這兩人卻是惺惺相惜,二十世紀最美麗的數學界故事是這樣開始的,西元1913年拉瑪奴江(S. Ramanujan)了一張長達數頁的信件給三個英國劍橋的學術界人士貝克(H. F. Baker)、霍布森(E. W. Hobson)、哈代(G. H. Hardy),信中寫了許多複雜的公式與定理,但是只有劍橋大學三一學院的院士哈代(G. H. Hardy)注意到了這位年僅23歲年輕人拉瑪奴江眾多定理中所展現出來的直覺數感天才。

拉瑪奴江哈代(G. H. Hardy)收到拉瑪奴江的信件寫道「尊敬的先生,謹自我介紹如下,我是馬德拉斯港務信託處的一個職員,年薪只有20英鎊,23歲,我沒有接受過大學教育,可是已完成普通中學課程,在離開學校後我仍利用閒暇時間研究數學,我自修學習大學課程,並用自己的方式,對一般的發散級數做了深入的研究,本地的數學家們說,我所得到的結果是令人驚奇的...............

哈代讀著遠從8000公里外的不知名和未受正式大學教育的南印度數學喜好者的突兀來信,哈代和他的同事利特爾伍德(J.E. Littlewood)認真檢核過這些定理後發現有一些定理的確是走在時代尖端的,雖然
哈代是當時著名的數學家而且拉瑪奴江所寫的一些公式或定理也在哈代的研究領域範圍,但是哈代還是說很多定理「完全打敗了我;我從沒見過任何像這樣的東西。」後來 哈代 推薦拉瑪奴江到了劍橋大學深造。

拉瑪奴江(S. Ramanujan)的公式裡經常出現無窮級數或連分數,例如
 


 



其中Φ是黃金分割比值(1+√5)/2

 

有一次拉瑪奴江(S. Ramanujan)生病住院,哈代(Hardy,Godfrey Harold) 乘計程車去醫院探望, 閒聊中道出計程車車牌號是1729,並戲謔地說「希望1729不是不祥之數」,拉瑪奴江再次展現他過人的數感天賦,直覺說: 「1729是一 個有趣的數, 它是能用兩種方法表示為兩個立方數和的最小整數」,也就是1729=13+123=93+103。 其實,早在西元1657年貝斯(B. F. de Bessy) 也發現這個數及其表示法。

後人將可用n個不同的方法表示成兩個正立方數和的整數稱做第n個計程車數(Taxicab number),一般寫作Ta(n)或Taxicab(n)。至目前只尋找到6個計程車數,在2008年找到Ta(6)。


Ta(1)=2=13+13

Ta(2)=1729=1
3+123=93+103

Ta(3)=87539319=
167
3+4363=2283+4233=2553+4143

Ta(4)=6963472309248=
2421
3+190833=54363+189483=102003+180723=133223+166303

Ta(5)=48988659276962496=

387873+3657573=1078393+3627533=2052923+3429523=2214243+3365883=2315183+3319543

Ta(6)=24153319581254312065344=

289062063+5821623=288948033+30641733=286574873+85192813=

270932083+162180683=265904523+174924963=262243663+1 82899223


相關連結:

瑪奴江 (Srinivasa Ramanujan)

恆等式 3

 


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