被n整除的前n位數 (n=1~10)

 

以五位數34285為例,其中前一位數3被1整除,前二位數34被2整除,前三位數342被3整除,前四位數3428被4整除,前五位數34285被5整除。

那麼是否存在有一個10位數,其每一位數字都不同,由最高位起,最高位數被1整除。最高位數和下一位數組成二位數被2整除,為了方便下列討論,就稱是前二位數被2整除。前三位數被3整除,前四位數被4整除,....,前10位數(即原來10位數自己)被10整除。」

假設十位數abcdefghijj是個位數字,i是十位數字,h是百位數字,g是千位數字,....,a是十億位數字。其中每一位數字是0~9等十個整數中的一個數,而且數字不重複。

五位數abcde被5整除前十位數abcdefghij被10整除,因此e=5j=0。
而2的倍數、4的倍數、6的倍數和8的倍數的個位數字一定是偶數,所以b、d、f、h、j都是偶數,而且a、c、e、g、i都是奇數。
 

前六位數abcdef被6整除,abcdef是2和3的公倍數,f可能值是2、4、6、8。

前三位數abc是3的倍數且abcdef也是3的倍數,所以d+e+f是3的倍數。綜合上述知def可能值如下:

d e f
2 5 8
4 5 6
6 5 4
8 5 2


前八位數abcdefgh被8整除,因為abcdefgh=abcde×1000+fgh=abcde×(8×125)+fgh,所以三位數fgh被8整除。

( g是奇數,h是偶數 )

d e f g h
2 5 8 1 6
4 5 6 3,7 2
6 5 4 3,7 2
8 5 2 1,5,9 6

 

( b是偶數 )

b d e f g h
4 2 5 8 1 6
8 4 5 6 3,7 2
8 6 5 4 3,7 2
4 8 5 2 1,5,9 6

 

前四位數abcd被4整除,abcd=ab×100+cd=ab×(4×25)+cd,所以cd被4整除。
前七位數abcdefg被7整除,
abcdefg=a×1000000+bcd×1000+efg
=a×(142857×7+1)+bcd×(143×7-1)+efg
=7×(142857a+143×bcd)+(a-bcd+efg)
所以(a+efg)-bcd被7整除。

 

已知a和c都是奇數而且a+b+c被3整除

a b c d e f g h
不存在 4 379 2 5 8 1 6
不存在 8 不存在 4 5 6 3,7 2
不存在 8 79 6 5 4 3 2
3 8 1 6 5 4 7 2
不存在 4 不存在 8 5 2 1,5,9 6

 

因為j=0,所以合乎條件的十位數是3816547290。

 


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