1/A+1/B=1/3

若A和B是自然數,A≦B,且1/A+1/B=1/3,如何找到A和B呢?」
因為1/3-1/A=(A-3)/3A,若A-3是3A的因數,就可以找到A、B。由於 3A=3(A-3)+9,若(A-3)是9的因數,則(A-3)就是3A的因數,因此A-3=1或 3 或 9,即A= 4 或 6 或 12。1/3-1/4=1/12,1/3-1/6=1/6,1/3-1/12=1/4,可見合乎問題條件的有A=4,B=12;A=6,B=6。
         如果將題目改成「
若A和B是自然數,A≦B,且1/A+1/B=1/4,如何找到A和B呢?」
經由相同的想法,1/4-1/A=(A-4)/4A,要求A- 4是 4A的因數,因為 4A= 4(A-4)+16,即要求A- 4是16的因數,A- 4可能是 1,2,4,8,16,所以A可能是 5,6,8,12,20。1/4-1/5=1/20,1/4-1/8=1/8,1/4-1/12=1/6,1/4-1/20=1/5,所以合乎問題條件的有(1).A=5,B=20  (2).A=6,B=12 (3).A=8,B=8。
        若再將題目改成「
若A和B是自然數,A≦B,且1/A+1/B=1/5,如何找到A和B呢?」
同樣的想法,1/5-1/A=(A-5)/5A,要求A-5是5A的因數,因為 5A= 5(A-5)+25,要求A-5是25的因數,A-5可能 1,5,25,所以A可能 6,10,30。1/5-1/6=1/30,1/5-1/10=1/10,1/5-1/30=1/6,所以合乎條件的有A=6,B=30;A=10,B=10。由上述例子可以發現,
若AB和n是自然數,A≦B,且滿足 1/A+1/B=1/n,則A-n必定是 n2 的因數。
試整理舉例結果並列表如下︰

n n2 A-n A AB 解(組)
3 9 1,3,9 4,6,12 A=4,B=12;A=6,B=6 2
4 16 1,2,4,8,16 5,6,8,12,20 A=5,B=20;A=6,B=12;A=8,B=8 3
5 25 1,5,25 6,10,30 A=6,B=30;A=10,B=10 2
6 36 1,2,3,4,6,9,12,18,36 7,8,9,10,12,15,18,24,42
A=7,B=42;A=8,B=24;A=9,b=18;A=10,B=15;A=12,B=12
5
7 49 1,7,49 8,14,56 A=8,B=56;A=14,B=14 2
8 64 1,2,4,8,16,32,64 9,10,12,16,24,40,72 A=9,B=72;A=10,B=40;A=12,B=24;A=16,B=16 4

       進一層發現,A<B,且1/A+1/B=1/n可能的正整數解個數應該是「 n2 的正因數個數加1,再除以2」。例如1/A+1/B=1/10,因為100=22×52,100的正因數有(2+1)(2+1)=9個,因此A≦B,且1/A+1/B=1/10的正整數解有 (9+1)/2=5組。


Copyright ©2007昌爸工作坊 all rights reserved