阿契理斯和烏龜賽跑

阿契理斯追烏龜

西元前485年希臘哲學家芝諾(Zeno)提出了困擾數學家的古典邏輯的著名悖論「阿契理斯追烏龜」。悖論（paradox）是指邏輯推論上沒有問題，卻違反直觀的論證。
傳說阿契理斯是古希臘跑步最快的人，芝諾悖論：「在起點先讓烏龜爬行100公尺後，阿契理斯再起跑，他的速度比烏龜快10倍，那麼，阿契理斯將無法追上烏龜。因為阿契理斯跑了100公尺抵達烏龜原來的地點，烏龜同時已經向前爬行10公尺；當他再追跑10公尺時，烏龜已經向前爬行1公尺。依此類推，兩者之間總有一段距離，所以阿契理斯是無法追上烏龜的。」

直觀而言，阿契理斯是無法追上烏龜的，因為烏龜總是在前方。可是按邏輯推論卻........

假設阿契理斯跑步的平均速率是每秒鐘10公尺，烏龜的爬行的平均速率是每秒鐘1公尺。則

阿契理斯花10秒跑到距離起點100公尺處，烏龜已經向前爬行10公尺了。

阿契理斯花1秒跑了10公尺，烏龜已經又向前爬行1公尺。

阿契理斯花$\frac{1}{10}$秒跑了1公尺，烏龜又向前爬行$\frac{1}{10}$公尺了。

...........

依此類推，阿契理斯跑步的總時間是 10+1+$\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\dots$。

10+1+$\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\dots$=$\large\frac{10}{1-\frac{1}{10}}$=$\large\frac{100}{9}$秒。

所以阿契理斯起跑$\large\frac{100}{9}$秒後就可以追上烏龜。

參考資料：

神秘有趣的數學--(九章出版社)
矛盾集錦--(凡異出版社)