笛卡兒 (R'ene Descartes,1596–1650)

笛卡兒誕生在法國一個富有的律師家庭,幼年曾被母親傳染肺結核病身體虛弱經常無法到學校上課只能臥病在床自學,以致有了獨自思考的習慣。

1607年在法國 Anjou省的拉弗萊什(La Flèche) 寄宿在耶穌會學院受教育。在這裡他開始研讀德國天文 克拉維烏斯(Christopher Clavius)的數學著作,學習算術和幾何。

1613年在法國普瓦捷(Poityers)大學學習法律,1616年畢業。1618年在荷蘭的布雷達(Breda)就讀軍事學校學習軍事工程,同時在荷蘭科學家艾薩克·貝克曼(Isaac Beeckman)的指導下學習數學和物理力學。1620年離開軍旅生活。1618年在布雷達(Breda)逛街時看見佈告欄上貼著一道數學徵答難題,他竟然能夠解出正確答案。從此對數學有產生信心並下定決心研究。當時在他身邊幫忙翻譯的人,就是大他八歲的艾薩克·貝克曼,貝克曼在數學和物理學各方面都有很高的造詣,可說是笛卡耳在學術研究上的導師

從 1620 年到 1628 年,笛卡兒遊歷歐洲,到過波希米亞、匈牙利、德國、荷蘭、法國、瑞士、義大利。 1623 年在巴黎和博學家 馬林·梅森 (Marin Mersenne)討論數論 和幾何學 家克勞德·邁多爾熱 (Claude Mydorge)討論圓錐曲線, 並保持了多年的聯繫。1628年笛卡兒厭倦了巴黎的喧囂,不再眷戀以前的旅行生活,決定在可以獨自研究的地方安頓下來。他選擇了荷蘭,在接下來的二十年裡,他似乎並不後悔。只有告訴梅森他住在哪裡,以便可以與數學世界保持聯繫,除此之外,他一直對於住處保密。

定居荷蘭後,1629 年至 1633 年期間 笛卡兒馬上撰寫第一部物理著作《世界論》(The Word) ,內文幾乎含蓋了他的哲學的完整版本,從方法到形而上學,再到物理學生物學。可惜的是,因為伽利略被軟禁,所以到笛卡兒死後才出版《世界論》。

1637年發表《方法論》(Discourse on the Method),該書有一句著名的名言「我思,故我在」。書後有三個附錄包括《幾何學》( La Géométrie ),對於後來的解析幾何的發展產生重大的影響。

《幾何學》有三卷,第一卷討論尺規作圖,他改良了韋達的符號系統,視 a、b、c為已知數,首次引進 x、y、z當作未知數。首創直角坐標平面,並將點坐標化。

第二卷是曲線的性質,利用代數的方法求曲線的切線。

第三卷是立體和超立體的作圖,它實際上是討論方程式的根的性質。

他為了讓幾何有一定的思考方法,創造坐標幾何。引進點坐標後幾何圖形可以坐標化,幾何問題就成為解方程式的問題。笛卡兒坐標平面由正交的x軸和y軸構成,將曲線代數化,引入變數導出動點的軌跡方程式並利用解方程組來求不同曲線的交點。

古希臘幾何以圖形為主,把曲線分為立體曲線、平面曲線、線性曲線三種立體曲線即圓錐曲線,平面曲線即能以尺規作圖的圖形,此外皆視為線性曲線,而線性曲線被認為不能登大雅之堂。但是笛卡兒不同意古希臘人對線性曲線的觀點他的解析幾何,賦予幾何曲線更寬廣的空間他用x、y的有限次方的方程式來表示曲線,創造出一個全新的數學領域--解析幾何。解析幾何對於後來的萊布尼茲和牛頓的微積分影響鉅大。

笛卡兒在他的作品《幾何學》(La Géométrie)首次提出笛卡兒符號法則,這是一個用於確定多項式方程式的正根或負根的個數的方法。如果把一元實係數多項式f(x)按降冪排列,則f(x)=0的正根的個數等於相鄰非零係數的符號的變化次數,或者比它依次小2的整倍數。如果相鄰非零係數的符號的變化次數是n則正根個數是 n 或 n-2 或 n-4..。例如 x3-3x+2=0非零係數的符號的變化次數是2,則正根有2個,負根有1個,如附圖。

笛卡兒在1638年首先提出葉形線x3+y3-3xy=0在直角坐標平面的圖形就是葉形線。如附圖

1860年從笛卡兒的一本筆記發現他早在1635年就已經證明 V-E+F=2,這是著名的尤拉公式,但是尤拉在1750年才證明它,比笛卡耳晚了一世紀,所以這個公式也稱作為尤拉-笛卡兒公式。

 

參考資料:

數學發展史---王懷權/著   (協進圖書公司)     

阿草的葫蘆(下)---曹亮吉/著 (遠哲基金會)

René Descartes (1596 - 1650) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

 


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