高斯  (GARL.F.GAUSS  1777-1855)  
 

       高斯研究的領域涵蓋廣泛,是十九世紀最具代表性的偉大人物之一。目前我們仍將高斯阿基米得牛頓視為人類史上最傑出的三位數學家。 他研究數論、代數、函數論、微分幾何、機率論、天文學、力學、測地學、水工學、電工學、磁學、光學等科目。而他在曲面論上的研究成果,樹立二十世紀有關相對論思想的基石。高斯擁有數種絕妙的才能,就其中單單一種就足以造就出一位偉大的科學家了,這些才能諸如:創造性直觀、卓越的計算能力、嚴密的邏輯推理、精密的實驗,和諧的融合在一起,解決了自然科學大大小小的問題。在高斯的周圍,幾乎找不到人可以分享他的想法或向他提出新的觀念,每當他接觸到高深理論時,總找不到別人討論。而這種孤獨的感覺,經年累月下來,逐漸塑造出高高在上,冷若冰霜的外表印象了。

三歲時,當水泥工頭的父親,星期六總會發薪水給工人,有一次他趴在地板上暗地裡跟著父親計算該給工人的薪水,他站了起來糾正錯誤的數目,把在場的大人嚇得木瞪口呆。高斯常笑著說:「他在學講話之前就已學會計算,問了大人如何發音後,就自己讀起書來」。十歲時,他的小學老師布特納(Buttner),出了一道算術難題:「計算 1+2+3.+100=?」。當時考試,首先完成的就將石板(當時作為寫字用)板面朝下放在老師講桌,第二位寫完的就放在第一位上面,..就這樣一張一張疊起來。布特納心想這可難為初學算術的學生,但是高斯卻在幾秒後將答案解出來,在老師驚奇中,他解釋如何解題,他找到了算術級數(等差級數)的對稱性,然後就像求得一般算術級數和的過程一樣,把數目一對對的湊在一起。

1 + 2 +3+……………………+98+99+100 ,      .....(1)

100+99+98+.............................+3+ 2+1     ,       .....(2)

101+101+101+.......+101+101+101=101×100=10100 ,.....(1)+(2)

所以1 + 2 +3+……………………+98+99+100 =10100÷2=5050 。

    高斯的家境並不富裕,冬天夜晚吃飯後,父親總要高斯上床睡覺,這樣就可以節省燃料和燈油的開銷。高斯很喜歡讀書,他往往帶了一梱蕪菁到頂樓,他把蕪菁當中挖空,塞進用粗棉捲成的燈芯,用一些油脂當燭油,就在微弱光亮的燈下,專心看書。高斯的算術老師本來是對學生的態度不好,他總是認為自己懷才不遇,但在發現了神童高斯後,他很高興,同時也感到慚愧,覺得自己懂的數學不多,不能對高斯有什麼幫助。後來,布特納漢堡郵購一本高等算術讓高斯研讀,和十八歲的助教巴陀(Martin Bartels)在研討上往來密切,高斯很高興和比他大差不多十歲的老師的助手一起學習這本書,十一歲時他就發現了二項式定理 ( x + y )n的一般展開式,這裡 n可以是正、負整數或正、負分數。經過巴陀(Martin Bartels)的介紹,高斯認得了卡洛林學院的教授勤模曼(Zimmermann),再經由勤模曼的引薦他得以晉見費迪南公爵。並在一次偶遇中布倫斯維克公爵夫人認識到他的聰慧,極力推薦給費迪南公爵 ( Duke Ferdinand ),他的才能得以受公爵賞識,公爵以經濟援助高斯,提供他繼續深造高等教育的機會。費迪南公爵對高斯的照顧對他往後的研究生涯助益良多,因為家境因素,高斯的父親不鼓勵孩子讀太多書,他認為勞動賺錢比做什麼數學研究是更實用的。
     在費迪南公爵的善意幫助下,十五歲的高斯進入一間著名的學院(程度相當於高中和大學之間)。在那裡他學習了古代和現代語言,同時也開始研究高等數學。他研究了質數分佈,這引導他涉入高等數論的領域,同時也開啟他思考歐幾里得的基本問題,尤其是平行公理,這影響到後來的非歐幾何學。他並專心閱讀牛頓尤拉拉格朗日這些歐洲著名數學家的作品。他對牛頓的工作特別欽佩,並很快地掌握了牛頓的微積分理論。
      十八歲,高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題,而這個數學上的新發現使他決定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的,他用歐氏工具(尺、圓規)作圖解了一個令歐幾里得頓挫百斯不得其解的難題。高斯只使用了直尺和圓規作圖圓內接正 17 邊形。 他對這個發現既高興又驕傲。傳說,他還表示希望死後在他的墓碑上能刻上一個正十七邊形,以紀念他少年時最重要的數學發現。
      1795年10月他到哥庭根 ( Gottingen )讀大學,哥庭根是一個學術風氣很濃厚的城市,吸引許多外國學生到這裡學習語言、神學、法律或醫學。而哥庭根大學豐富的數學藏書深深吸引了高斯
      高斯在數論方面的研究,總是從數字本身著手,從小就他拿數字作各種運算的實驗,更確切的說,他在玩數字,由此他發現了數字間的關係和定理,當然最後他還得花很大的心思在嚴謹的證明過程上。      
       1799年,高斯22歲,他交出第一篇博士論文,這論文證明了代數上一個重要的定理:「任何一元代數方程都有解(根)」。這定理在數學界被稱作<代數基本定理>,證明過程中他一直避免使用複數,當時數學家仍為複數爭議不休。後來,他陸續找出三個證明方法,最後一個證明是在他慶祝獲得博士學位五十週年時發現的,這時他已大方公開運用複數了,因為這時大家都認清楚複數了。事實上在高斯同時期也有許多數學家認為已給出了這個結果的證明,可是卻沒有一個證明是夠嚴密的,高斯是第一個數學家給出嚴密無誤的證明,高斯認為這個定理是很重要的,在他一生中給了<代數基本定理>四個不同的證明。
     
高斯在1795--1801年間研究數論的豐碩果,大都收集在『Disquisitiones Arithmeticae 』(算學講話,或算數研究)一書中。1801 年,高斯 24 歲, 將它出版公開於世 整合了數論並陳述了數論的基本概念。這本書是用拉丁文寫的,原來有八章,由於資金不夠,只印了其中七章,這書可以說是第一本有系統研究數論的著作,使數論成為數學中重要的一支,書中高斯第一次介紹<同餘>這個概念。算學講話分成七章,分別是<一般同餘>、<一次同餘>、<冪剩餘>、<二次同餘>、<二次型式>、<應用>、<分圓>。其中包括算術基本定理:「每一個大於1的正整數,都可唯一寫為質數的乘積」,它就是國中數學課本所學的標準分解式。高斯曾說過:「數學是科學的皇后,而數論是數學的女王」,那時代的人因此就稱高斯是「數學王子」。
       高斯的傲人成就,譬如 他發現了高斯曲線或稱『鐘型曲線』, 此曲線是機率分佈的基礎; 高斯給複數的第一個幾何意義的解 釋且建立複數在數學上的基本角色; 發展利用曲面上的曲線來描 述曲面的方法; 發展保角映射理論且發展非歐幾何 。在物理學上,高斯提出透鏡及毛細作用理論的重大貢獻; 並 和 Wilhelm Weber 共同創了電磁學的基本工作,電學上還以高斯當作單位名稱。 高斯還製作了反光器,雙線磁力計及發報機。
      高斯處世非常的細心及氣派高雅的。他精通外國語言, 閱讀 廣泛, 並嗜好於礦物學及植物學。高斯並不是喜歡教書的而且通常給人的感覺是冷冷的, 故和其他數學家相處的不好, 或許是因為他無時無刻都在思考研究 ,因而疏於人際關係吧! 終其一生,高斯總是靜靜將答案寫下,不留一點計算痕跡,而且對答案有絕對的把握,就像雪地中狐狸總是用尾巴掃拭足跡一般。
但是在高斯的周圍,幾乎找不到人能和他分享想法,或者向他提出新觀念的。當他接觸到深奧理論,卻沒有人可以之討論。如此孤獨的感覺,經年累月下來,就養成了高高在上的冷傲心境。而離群索居的生活,卻也換來不受世人煩擾的研究環境。
雖然高斯經常不滿於自己的健康狀況,但他的大半生卻從沒生過大病。最後因心臟病在睡夢中平靜的逝世,享年七十七歲。

參考資料:

偉大數學家的一生----Tord Hall原著  朱建正等譯 (凡異出版社)

數學和數學家的故事----凡異出版社

 


Copyright ©1999~2001昌爸工作坊 all rights reserved