高斯研究的領域涵蓋廣泛，是十九世紀最具代表性的偉大人物之一。目前我們仍將高斯和阿基米得、牛頓視為人類史上最傑出的三位數學家。 他研究數論、代數、函數論、微分幾何、機率論、天文學、力學、測地學、水工學、電工學、磁學、光學等科目。而他在曲面論上的研究成果，樹立二十世紀有關相對論思想的基石。高斯擁有數種絕妙的才能，就其中單單一種就足以造就出一位偉大的科學家了，這些才能諸如：創造性直觀、卓越的計算能力、嚴密的邏輯推理、精密的實驗，和諧的融合在一起，解決了自然科學大大小小的問題。在高斯的周圍，幾乎找不到人可以分享他的想法或向他提出新的觀念，每當他接觸到高深理論時，總找不到別人討論。而這種孤獨的感覺，經年累月下來，逐漸塑造出高高在上，冷若冰霜的外表印象了。

1 ＋ 2 ＋3＋……………………＋98＋99＋100 ,      .....(1)

100＋99＋98＋.............................＋3＋ 2＋1     ,       .....(2)

101＋101＋101＋.......＋101＋101＋101＝101×100＝10100 ,.....(1)+(2)

所以1 ＋ 2 ＋3＋……………………＋98＋99＋100 =10100÷2＝5050 。

    高斯的家境並不富裕，冬天夜晚吃飯後，父親總要高斯上床睡覺，這樣就可以節省燃料和燈油的開銷。高斯很喜歡讀書，他往往帶了一梱蕪菁到頂樓，他把蕪菁當中挖空，塞進用粗棉捲成的燈芯，用一些油脂當燭油，就在微弱光亮的燈下，專心看書。高斯的算術老師本來是對學生的態度不好，他總是認為自己懷才不遇，但在發現了神童高斯後，他很高興，同時也感到慚愧，覺得自己懂的數學不多，不能對高斯有什麼幫助。後來，布特納從漢堡郵購一本高等算術讓高斯研讀，和十八歲的助教巴陀(Martin Bartels)在研討上往來密切，高斯很高興和比他大差不多十歲的老師的助手一起學習這本書，十一歲時他就發現了二項式定理 ( x + y )ⁿ的一般展開式，這裡 n可以是正、負整數或正、負分數。經過巴陀(Martin Bartels)的介紹，高斯認得了卡洛林學院的教授勤模曼(Zimmermann)，再經由勤模曼的引薦他得以晉見費迪南公爵。並在一次偶遇中布倫斯維克公爵夫人認識到他的聰慧，極力推薦給費迪南公爵 ( Duke Ferdinand )，他的才能得以受公爵賞識，公爵以經濟援助高斯，提供他繼續深造高等教育的機會。費迪南公爵對高斯的照顧對他往後的研究生涯助益良多，因為家境因素，高斯的父親不鼓勵孩子讀太多書，他認為勞動賺錢比做什麼數學研究是更實用的。
     在費迪南公爵的善意幫助下，十五歲的高斯進入一間著名的學院（程度相當於高中和大學之間）。在那裡他學習了古代和現代語言，同時也開始研究高等數學。他研究了質數分佈，這引導他涉入高等數論的領域，同時也開啟他思考歐幾里得的基本問題，尤其是平行公理，這影響到後來的非歐幾何學。他並專心閱讀牛頓、尤拉、拉格朗日這些歐洲著名數學家的作品。他對牛頓的工作特別欽佩，並很快地掌握了牛頓的微積分理論。
      十八歲，高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題，而這個數學上的新發現使他決定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的，他用歐氏工具(尺、圓規)作圖解了一個令歐幾里得頓挫百斯不得其解的難題。高斯只使用了直尺和圓規作圖圓內接正 17 邊形。 他對這個發現既高興又驕傲。傳說，他還表示希望死後在他的墓碑上能刻上一個正十七邊形，以紀念他少年時最重要的數學發現。
      1795年10月他到哥庭根 ( Gottingen )讀大學，哥庭根是一個學術風氣很濃厚的城市，吸引許多外國學生到這裡學習語言、神學、法律或醫學。而哥庭根大學豐富的數學藏書深深吸引了高斯。
      高斯在數論方面的研究，總是從數字本身著手，從小就他拿數字作各種運算的實驗，更確切的說，他在玩數字，由此他發現了數字間的關係和定理，當然最後他還得花很大的心思在嚴謹的證明過程上。      
       1799年，高斯22歲，他交出第一篇博士論文，這論文證明了代數上一個重要的定理：「任何一元代數方程都有解(根)」。這定理在數學界被稱作<代數基本定理>，證明過程中他一直避免使用複數，當時數學家仍為複數爭議不休。後來，他陸續找出三個證明方法，最後一個證明是在他慶祝獲得博士學位五十週年時發現的，這時他已大方公開運用複數了，因為這時大家都認清楚複數了。事實上在高斯同時期也有許多數學家認為已給出了這個結果的證明，可是卻沒有一個證明是夠嚴密的，高斯是第一個數學家給出嚴密無誤的證明，高斯認為這個定理是很重要的，在他一生中給了<代數基本定理>四個不同的證明。
      高斯在1795--1801年間研究數論的豐碩果，大都收集在『Disquisitiones Arithmeticae 』(算學講話，或算數研究)一書中。1801 年，高斯 24 歲， 將它出版公開於世， 整合了數論並陳述了數論的基本概念。這本書是用拉丁文寫的，原來有八章，由於資金不夠，只印了其中七章，這書可以說是第一本有系統研究數論的著作，使數論成為數學中重要的一支，書中高斯第一次介紹<同餘>這個概念。算學講話分成七章，分別是<一般同餘>、<一次同餘>、<冪剩餘>、<二次同餘>、<二次型式>、<應用>、<分圓>。其中包括算術基本定理：「每一個大於1的正整數，都可唯一寫為質數的乘積」，它就是國中數學課本所學的標準分解式。高斯曾說過：「數學是科學的皇后，而數論是數學的女王」，那時代的人因此就稱高斯是「數學王子」。
       高斯的傲人成就，譬如 他發現了高斯曲線或稱『鐘型曲線』， 此曲線是機率分佈的基礎; 高斯給複數的第一個幾何意義的解 釋且建立複數在數學上的基本角色; 發展利用曲面上的曲線來描 述曲面的方法; 發展保角映射理論且發展非歐幾何 。在物理學上，高斯提出透鏡及毛細作用理論的重大貢獻; 並 和 Wilhelm Weber 共同創了電磁學的基本工作，電學上還以高斯當作單位名稱。 高斯還製作了反光器，雙線磁力計及發報機。
      高斯處世非常的細心及氣派高雅的。他精通外國語言， 閱讀 廣泛， 並嗜好於礦物學及植物學。高斯並不是喜歡教書的而且通常給人的感覺是冷冷的， 故和其他數學家相處的不好， 或許是因為他無時無刻都在思考研究 ，因而疏於人際關係吧! 終其一生，高斯總是靜靜將答案寫下，不留一點計算痕跡，而且對答案有絕對的把握，就像雪地中狐狸總是用尾巴掃拭足跡一般。
但是在高斯的周圍，幾乎找不到人能和他分享想法，或者向他提出新觀念的。當他接觸到深奧理論，卻沒有人可以之討論。如此孤獨的感覺，經年累月下來，就養成了高高在上的冷傲心境。而離群索居的生活，卻也換來不受世人煩擾的研究環境。雖然高斯經常不滿於自己的健康狀況，但他的大半生卻從沒生過大病。最後因心臟病在睡夢中平靜的逝世，享年七十七歲。

參考資料：

偉大數學家的一生----Tord Hall原著  朱建正等譯 (凡異出版社)

數學和數學家的故事----凡異出版社