祖沖之和π

正多邊形逼近圓

       祖沖之生於南北朝(西元429-500年)范陽薊縣人,他曾算出月球繞地球一周為27.21223日,和現在公認的27.21222日,在小數第五位才有1的誤差。難怪西方科學家將月球上的一個火山坑命名叫「祖沖之」,這也是月球上唯一用中國人命名的地方。

        在三千多年前,周朝的時候,認為圓周長和直徑的比是三比一,也就是說,那個時候的圓周率等 於三,後來,歷代許多數學家,像西漢劉歆東漢張衡,都分別提出新的數值。不過,真正求出比較 精確圓周率的,是魏晉時代(約西元263年)的劉徽,而他所用的方法叫做『割圓術』。他發現:當圓內接正多邊形的邊數不斷增加後,多邊形的周長會越來越逼近圓周長,而多邊形的面積也會越來越逼近圓面積。於是,劉徽利用正多邊形面積和圓面積之間的關係,從正六邊形開始,逐步把邊數加倍:正十二邊形、正二十四邊形 、正四十八邊形、正九十六邊形,算出圓周率等於3.141024。當時數學家利用一種竹片做成的『算籌』,擺放在地上代表數字進行運算,不但麻煩而且辛苦。

        祖沖之劉徽研究的基礎上,進一步地發展,經過既漫長又煩瑣的計算,一直算到圓內接正24576邊形,而得到一個結論:圓周率的值介於3.1415926和3.1415927之間;同時,他還找到了圓周率的約率:22/7、密率:355/113。祖沖之為了求圓周率小數後的第七位準確值,把正六邊形的邊長計算到小數後二萬八千六百七十二位,是很了不起的成就。這當中有三點值得我們注意的,

  1. 他是自己做的,因為開平方不能你求小數後第一位到第八位,同時間,有另外一人求第九位到第十六位,.......

  2. 目前使用的算盤到了十二世紀才出現,祖沖之那個時代還沒有算盤,可見其開平方的艱辛。

  3. 祖沖之不可能使用阿拉伯數字,阿拉伯數字在十二、十三世紀才傳入中國,可以想像其計數之麻煩。

以上研究結果,都領先了西方的數學家一千多年呢!雖然現在電腦發達,可以在很短的時間之內,就求出圓周率小數點後面幾千、幾萬個位數;但是,古人們在完全依靠人工計算的情況下,為了追求科學真理,義無反顧地獻身其中的熱情與毅力,更值得我們學習與敬喔!」

[註]: 附圖是祖沖之的畫像


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