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  |─ 2010史上最難建中高一下期考題
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作者 標題: 2010史上最難建中高一下期考題
idiot     發表於: 2010/7/7 上午 11:53:27            
單選6
設 △ABC的內角∠ABC,∠BAC 分別以A,B表示,且∠BAC為銳角,
若 4cosA+3sinA = (5√5)/(2sinB-cosB),則 AC : BC的比值為
(1)1/2 (2)1/(√5) (3)(2√5)/3 (4)√5 (5)2

多選6
下列哪些可以是方程式 8(cosx)^3 - 4(cosx)^2 -4cosx +1=0
的根?
(1)兀 (2)5兀/7 (3)5兀/9 (4)5兀/11 (5)5兀/13

證明題
1.若x1,x2,x3 為任意實數,
試證:cos(x1-x2)+cos(x2-x3)+cos(x3-x1)≧-3/2

2.試證:sin1° 為無理數

尚有5,6題難題

附註:本次期考每人加30分後,平均才及格
Mathplayer          回覆於: 2021/9/8 上午 12:43:04                        

似乎能搞定多選6了
idiot          回覆於: 2010/7/7 上午 11:55:01                        

訂正
∠BAC,∠ABC 分別以A,B表示
老王          回覆於: 2010/7/7 下午 05:19:18                        

單選6
疊合
4cosA+3sinA = (5√5)/(2sinB-cosB)
5sin(A+T)= (5√5)/ √5(sin(B-P)
其中sinT=4/5,cosT=3/5,sinP=1/√5,cosP=2/√5
sin(A+T)sin(B-P)=1
僅可能sin(A+T)=1且sin(B-P)=1
A=90-T,B=90+P
AC/BC=sinB/sinA=cosP/cosT=2√5/3
答案選3
老王          回覆於: 2010/7/7 下午 05:47:00                        

多選6
8(cosx)^3 - 4(cosx)^2 -4cosx +1=0
兀代入不合
令y=cosx
8y^3-4y^2-4y+1=0
乘上y+1
8y^4+4y^3-8y-3y+1=0
有cos3x=4y^3-3y
cos4x=2(2y^2-1)^2-1=8y^4-8y^2+1
so cos4x+cos3x=0
cos4x=-cos3x
答案中只有(2)符合
M.N.M.          回覆於: 2010/7/7 下午 09:35:57                        

sin1° 為無理數

設sin1度為有理數

sin3度=3sin1度-4(sin1度)^3

cos6度=1-2(sin3度)^2

cos18度=4(cos6度)^3-3(cos6度)

cos18度=sqrt((10+2sqrt(5)))/4

cos18度為無理數與右式4(cos6度)^3-3(cos6度)為有理數矛盾

所以sin1度為無理數

會泰勒展開式的話可以證sin1為無理數
Superman          回覆於: 2012/1/20 下午 01:03:52                        

我對多選6的出題動機很有意見。
雖然憑經驗可以猜出,但感覺是在刁難人。
似乎沒有先知道答案再驗證的方法。
Superman          回覆於: 2012/1/20 下午 05:06:06                        

似乎沒有不是先知道答案再驗證的方法。
補教名師          回覆於: 2012/1/31 上午 04:46:38                        

我那屆也有平均2.30過...
這樣就史上最難有點危言聳聽喔
Superman          回覆於: 2012/2/1 下午 06:04:00                        

沒有任何貢獻!

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