一個梅森質數的最高位數字和個位數字

雖然已經證明質數有無限多個，還是有一群愛好質數者編寫程式並運用現有的電腦硬體找尋巨大數的質數。Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) 於2018年1月3日公布找到目前最大的質數 2^77232917-1，共有23249425位數，也是目前找到的的第50個梅森數，距離找到第49個梅森質數大約有2年時間。 

我們如何計算求 2^77232917-1的位數以及最高位數字和個位數字呢？
 
假設A是正整數且log A=n+c，n是正整數，0 ≦ c < 1。

如果log k ≦ c < log (k+1)，k∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，則10^{log k} ≦ 10^c < 10^{log (k+1)}，因此 k ≦ 10^c <k+1。

因為A=10^n+c，所以 k×10ⁿ ≦ 10^n+c < (k+1)×10ⁿ，即 k×10ⁿ ≦ A <(k+1)×10ⁿ，所以A有(n+1)位數且最高位數字是k。
 
log2^77232917=77232917× log 2=23249424.67 (以計算器CASIO， fx-991 MS計算的結果)，
因為23249424.67=23249424+0.67，所以2^77232917有23249424+1=23249425位數。
因為log4 < 0.67 < log5，所以2^77232917的最高位數字是4。
 
因為2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，.....，可知2的n次方(n=1，2，3，4，5，......)的個位數字以2，4，8，6循環。
因為77232917≡1 (mod 4)，所以2^77232917 的個位數字是2。
綜合上述可知
2^77232917-1的個位數字是2-1=1，
2^77232917-1的最高位數字是 4，
2^77232917-1有23249425位。

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