A系列紙張與白銀矩形

 

有一種紙張,形狀是矩形(長方形),沿著它的長邊對摺成矩形,再沿著新矩形的長邊對摺成矩形,結果是這些矩形都是相似形。我們列印或影印時,經常用到的A4紙就是這一種紙張。

 

將一矩形的紙張沿著長邊對摺成原來的一半﹐若對摺後的矩形和原來的矩形相似,稱它為白銀矩形,平時常用的A4紙就是白銀矩形。如果白銀矩形的長是x且寬是y,因為 x:y=y:x/2,所以x2=2y2,x:y=:1。
ISO 216是國際標準化組織(ISO)所定義的紙張尺寸國際標準,為目前世界上大多數國家所採用。常用的A4紙張尺寸即由此標準所定義。A系列紙張的長寬比是:1,定義A0是長1189公厘,寬841公厘,面積是1平方公尺。將A0紙沿著長邊對摺一半,就是A1紙;將A1紙沿著長邊對摺一半,就是A2紙;將A2紙沿著長邊對摺一半,就是A3紙;將A3紙沿著長邊對摺一半,就是A4紙。An紙沿著長邊對摺一半,就是A(n+1)紙,n=0~9。任選A系列其中兩張不同大小的紙張都是相似形。

 

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

長(mm)

1189

841

594

420

297

210

148

105

74

52

37

寬(mm)

841

594

420

297

210

148

105

74

52

37

26

 

甲圖是長寬比:1的白銀矩形,假設寬是x,長x,從甲割掉一個最大的正方形,即割掉邊長x的正方形,得矩形乙。矩形乙長x,寬(−1)x,其長寬比值是1/(−1)=+1。從乙割掉一個最大的正方形,得矩形丙,其長與寬的比值是(2)/(−1)=,所以甲和丙是相似形。如果從丙割掉一個最大的正方形,得矩形丁,其長與寬的比值是(1)/(32)+1,所以丁與乙相似。

 


 

+1≒2.414213562被稱為白銀分割率,記做δS如果a與b兩個數的比值是δS則滿足(2a+b) / a=a / b。

如果用繁分數表示δS,

 

定義佩爾(Pell)數,第1個佩爾數P1=0,第2個佩爾數P2=1,當n≧3第n個佩爾數Pn=2Pn-1+Pn-2。佩爾(Pell)數形成佩爾(Pell)數數列,首項0,第一項是1,第三項開始每項都是前一項的兩倍加上前二項。佩爾數數列的前幾項是 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… 。從佩爾(Pell)數數列的第三項開始,任意一項與它相鄰前項的比值會趨近於+1。

 


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