上下山的平均速率

有些人在計算沿同一條路徑上山、下山的平均速率時，經常誤解為計算上山速率和下山速率的算術平均數。可是正確提解應該是計算上山速率和下山速率的調和平均數。

例如︰甲以等速每小時5公里上山，並沿著相同山路以等速每小時6公里下山，途中沒有休息，則甲的平均速率是多少?

好多人看到「平均」一詞就計算總和除以總個數，以致出現錯誤的算式︰平均速率=(5+6)÷2=5.5(公里小時)

已知時間=$\large\frac{距離}{速率}$

假設山路長1公里，上山共花了$\large\frac{1}{5}$小時，下山共花了$\large\frac{1}{6}$小時。

上下山總共2公里，總時間=$\large\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{11}{30}$(小時)。

所以，平均速率=$\large\frac{總距離}{總時間}$=$\large\frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}$=$\large\frac{2}{\frac{11}{30}}$=$\large\frac{60}{11}$。

如果山路長s公里，甲上山時速a公里，下山時速b公里，途中沒有休息，則上下山的平均速率=$\large\frac{2s}{\frac{s}{a}+\frac{s}{b}}$=$\large\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$=$\large\frac{2ab}{a+b}$。