都是天平惹的禍

      現在的七年級國中生學習等量公理,正在等臂天平、沙包、砝碼操作中經由視覺觀察,形成抽象的等量觀念。是否想過,如果換作不等臂的天平,那麼會發生什麼奇妙的事呢?

       昌爸先說個奇怪的故事,阿濃在鎮上經營藥材,他用的天平還跟人家不同,奇怪的是天平兩臂長度是不一樣長度的。客人上門時,他總要提出二個稱重量計價的方式,由客人自己選擇。方法一是「由客人自己抓取藥材,再交給阿濃平分成兩份,再將其中一份放入左盤,砝碼放入右盤稱取重量;另一份則放入右盤,砝碼放入左盤稱取重量。就以兩次稱重的砝碼重量和,依時價付錢」。方法二是「依照客人要購買的藥材重量等分為二,再分別使用左盤稱取原藥材的二分之ㄧ重量;使用右盤稱取原藥材的二分之ㄧ重量,以兩次稱重的砝碼重量和,依時價付錢」。

      如果阿濃的不等臂天平,左臂10公分長,右臂20公分長。狀況一是,你到阿濃的店裡抓的藥材重8兩,由阿濃平分成相等兩份,依照方法一,將其中一份放入左盤,砝碼放入右盤稱取重量;另一份則放入右盤,砝碼放入左盤稱取重量。就以兩次稱重的砝碼重量總和,依時價付錢。

狀況二是,你告訴阿濃要買8兩藥材,由阿濃分別使用左盤稱取4兩重;使用右盤稱取4兩重,就以兩次稱重的砝碼重量總和,依時價付錢。

如果是狀況一,根據槓桿原理(參考下圖),砝碼重量總和是8+2=10,你需要用10兩重的費用購買4+4=8兩重的藥材,顯然很不合算,你吃虧了。

 

如果是狀況二,根據槓桿原理(參考下圖),砝碼重量總和 4+4=8,你用8兩重的費用就可以買到2+8=10兩重的藥材,顯然是你占便宜了。

       

 

如果鎮上知道這個秘密,怪人阿濃還不換一隻等臂天平,或者再想一個更好的方法,否則是要吃虧關店的。

         其實這道理不是很難理解,如果阿濃天平的左右臂長度分別為 a b  (公分),其中 a < b 。狀況一,客人抓取 2x  兩重藥材,阿濃 將 x 兩藥材放左盤,根據槓桿原理知右盤需要放入兩重的砝碼,使其平衡;將 x 兩藥材放右盤,根據槓桿原理知左盤需要放入兩重的砝碼,使其平衡。砝碼總重是兩,因為 (ab)2 = a22ab+b2 0,且不等臂即 ab,又 a2+b2 2ab ,因此 。所以狀況一的砝碼總重兩是大於2x兩重的,這時以砝碼總重計價,以多買少,當然是對買方不利的。

而狀況二是先以x兩重的砝碼分別放入左右盤去稱取薬材,這樣所稱得的藥材總重是。由先前推演,已知,所以這時是以少買多,當然是對買方有利的。



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