大衍求一術解物不知數

我們先談兩個關於正整數除式餘數的性質

「如果正整數M和N同除以a的餘數分別是c和e，則(M+N)除以a的餘數等於(c+e)除以a的餘數。」........(1)

22÷7=3...1，31÷7=4...3，(22+31)÷7=(3+4)...(1+3)
29÷5=5...4，34÷5=6...4，(29+34)÷5=(6+5+1)...(4+4-5)

M÷a=b...c，N÷a=d...e，則M=ab+c，N=ad+e。
M+N=(ab+c)+(ad+e)=a(b+d)+(c+e)=a(b+d+1)+(c+e-a)
如果 c+e < a，則(M+N)÷a=(b+d)....(c+e)。
如果 c+e ≧ a所以(M+N)÷a=(b+d+1)....(c+e-a)。

「如果正整數M和N同除以a的餘數分別是c和1，則MN除以a的餘數等於c。」........(2)

9÷7=1...2，22÷7=3...1，(9×22)÷7=28...(2×1)
15÷11=1...4，23÷11=2...1，(15×23)÷11=31...(4×1)

M÷a=b...c，N÷a=d...1，則M=ab+c，N=ad+1。
MN=(ab+c)(ad+1)=(ab)(ad)+(ab)+c(ad)+c=(bad+b+cd)a+c，
因此MN除以a的餘數是c。

 
魏晉南北朝(西元280~420年期間)，算書《孫子算經》卷下的第26題：
「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」
答曰：二十三。(最小正整數解)
術曰：三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十。 并之得二百三十三。以二百一十減之，即得。 凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五。 一百六以上，以一百五減之，即得。
雖然孫子給出答案和方法(術)，卻沒有說明70、21、15是如何計算出來的。
明朝的程大位在《算法統宗》（1592年），為了凸顯70、21、15三個數字，將解法編成七字一句的歌訣：
「三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。 」
南宋，秦九韶在《數書九章》以大衍求一術為《孫子算經》卷下第26題提出明確且有系統的解題步驟。

 
※ 現在，我們一起來討索「70、21、15是如何計算出來的(大衍求一術) 。

三三數之剩二，五五數之不剩，七七數之不剩，則此數n如何？
n≡2 (mod3)，n≡0 (mod5)，n≡0 (mod7) ，
n是35的倍數且除以3餘2。
因為 70÷3=23...1 ， 2÷3=0...2，由(2)可知(70×2)÷3=46...(1×2)，所以取n=70×2。

如果三三數之不剩，五五數之剩三，七七數之不剩，則此數n如何？
n≡0 (mod3)，n≡3 (mod5)，n≡0 (mod7) ，
n是21的倍數且除以5餘3。
因為21÷5=4...1 ， 3÷5=0...3，由(2)可知(21×3)÷5=12...(1×3)，所以取n=21×3。

如果三三數之不剩，五五數之不剩，七七數之剩二，則此數n如何？
n≡0 (mod3)，n≡0 (mod5)，n≡2 (mod7) ，
n是15的倍數且除以7餘2。
因為 15÷7=2...1 ， 2÷7=0...2，由(2)可知(15×2)÷7=4...(1×2)，所以取n=15×2。

(70×2)除以3餘數2，(21×3)除以3餘數0，(15×2)除以3餘數0，所以由(1)知 (70×2+21×3+15×2)除以3餘2。
(21×3)除以5餘數3，(70×2)除以5餘數0，(15×2)除以5餘數0，所以由(1)知 (70×2+21×3+15×2)除以5餘3。
(15×2)除以7餘數2，(70×2)除以7餘數0，(21×3)除以7餘數0，所以由(1)知 (70×2+21×3+15×2)除以7餘2。

 「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」
此數=(70×2+21×3+15×2)+[3，5，7]×k = 233+105k，其中k是整數。
如果k=-2，則233+105×(-2)=23，此數的最小值是23。

延伸性質：
「M₅₇是35的倍數且除以3餘數1的最小正整數值，M₃₇是21的倍數且除以5餘數1的最小正整數值，M₃₅是15的倍數且除以7餘數1的最小正整數值。某數三三數之剩r₃，五五數之剩r₅，七七數之剩r₇，則此數是M₅₇×r₃+M₃₇×r₅+M₃₅×r₇+[3，5，7]×k，其中k是整數。」
 「今有物不知其數，三三數之剩r₃，五五數之剩r₅，七七數之剩r₇，問物幾何？」
則此數是70×r₃+21×r₅+15×r₇+105k ，其中k是整數。

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